Theorem fcnvres 6082

Description: The converse of a restriction of a function. (Contributed by NM, 26-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
fcnvres	|- ( F : A --> B -> `' ( F |` A ) = ( `' F |` B ) )

Proof of Theorem fcnvres

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5503	. 2 |- Rel `' ( F |` A )
2		relres 5426	. 2 |- Rel ( `' F |` B )
3		opelf 6065	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ <. x , y >. e. F ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
4	3	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ <. x , y >. e. F ) -> x e. A )
5	4	ex 450	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F -> x e. A ) )
6	5	pm4.71d 666	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. A ) ) )
7		vex 3203	. . . . . 6 |- y e. _V
8		vex 3203	. . . . . 6 |- x e. _V
9	7, 8	opelcnv 5304	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. `' ( F |` A ) <-> <. x , y >. e. ( F |` A ) )
10	7	opelres 5401	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( F |` A ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. A ) )
11	9, 10	bitri 264	. . . 4 |- ( <. y , x >. e. `' ( F |` A ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. A ) )
12	6, 11	syl6bbr 278	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F <-> <. y , x >. e. `' ( F |` A ) ) )
13	3	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ <. x , y >. e. F ) -> y e. B )
14	13	ex 450	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F -> y e. B ) )
15	14	pm4.71d 666	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F <-> ( <. x , y >. e. F /\ y e. B ) ) )
16	8	opelres 5401	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. ( `' F |` B ) <-> ( <. y , x >. e. `' F /\ y e. B ) )
17	7, 8	opelcnv 5304	. . . . . 6 |- ( <. y , x >. e. `' F <-> <. x , y >. e. F )
18	17	anbi1i 731	. . . . 5 |- ( ( <. y , x >. e. `' F /\ y e. B ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ y e. B ) )
19	16, 18	bitri 264	. . . 4 |- ( <. y , x >. e. ( `' F |` B ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ y e. B ) )
20	15, 19	syl6bbr 278	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F <-> <. y , x >. e. ( `' F |` B ) ) )
21	12, 20	bitr3d 270	. 2 |- ( F : A --> B -> ( <. y , x >. e. `' ( F |` A ) <-> <. y , x >. e. ( `' F |` B ) ) )
22	1, 2, 21	eqrelrdv 5216	1 |- ( F : A --> B -> `' ( F |` A ) = ( `' F |` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   `'ccnv 5113   |` cres 5116   -->wf 5884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892

This theorem is referenced by: (None)