Theorem fompt 39379

Description: Express being onto for a mapping operation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
fompt.1	|- F = ( x e. A |-> C )

Assertion

Ref	Expression
fompt	|- ( F : A -onto-> B <-> ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   y, C   y, F

Allowed substitution hints:   C( x)   F( x)

Proof of Theorem fompt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fompt.1	. . . . . . 7 |- F = ( x e. A |-> C )
2		nfmpt1 4747	. . . . . . 7 |- F/_ x ( x e. A |-> C )
3	1, 2	nfcxfr 2762	. . . . . 6 |- F/_ x F
4	3	dffo3f 39364	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
5	4	simplbi 476	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
6	1	fmpt 6381	. . . . . 6 |- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )
7	6	bicomi 214	. . . . 5 |- ( F : A --> B <-> A. x e. A C e. B )
8	7	biimpi 206	. . . 4 |- ( F : A --> B -> A. x e. A C e. B )
9	5, 8	syl 17	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> A. x e. A C e. B )
10	3	foelrnf 39373	. . . . 5 |- ( ( F : A -onto-> B /\ y e. B ) -> E. x e. A y = ( F ` x ) )
11		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ x A
12		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ x B
13	3, 11, 12	nffo 6114	. . . . . . 7 |- F/ x F : A -onto-> B
14		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) /\ y = ( F ` x ) ) -> y = ( F ` x ) )
15		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) -> x e. A )
16	9	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) -> C e. B )
17	1	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ C e. B ) -> ( F ` x ) = C )
18	15, 16, 17	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = C )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) /\ y = ( F ` x ) ) -> ( F ` x ) = C )
20	14, 19	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) /\ y = ( F ` x ) ) -> y = C )
21	20	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) -> ( y = ( F ` x ) -> y = C ) )
22	21	ex 450	. . . . . . 7 |- ( F : A -onto-> B -> ( x e. A -> ( y = ( F ` x ) -> y = C ) ) )
23	13, 22	reximdai 3012	. . . . . 6 |- ( F : A -onto-> B -> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> E. x e. A y = C ) )
24	23	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( F : A -onto-> B /\ y e. B ) -> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> E. x e. A y = C ) )
25	10, 24	mpd 15	. . . 4 |- ( ( F : A -onto-> B /\ y e. B ) -> E. x e. A y = C )
26	25	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> A. y e. B E. x e. A y = C )
27	9, 26	jca 554	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) )
28	6	biimpi 206	. . . . 5 |- ( A. x e. A C e. B -> F : A --> B )
29	28	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) -> F : A --> B )
30		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ y A. x e. A C e. B
31		nfra1 2941	. . . . . 6 |- F/ y A. y e. B E. x e. A y = C
32	30, 31	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ y ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C )
33		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) /\ y e. B ) -> A. x e. A C e. B )
34		rspa 2930	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. B E. x e. A y = C /\ y e. B ) -> E. x e. A y = C )
35	34	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) /\ y e. B ) -> E. x e. A y = C )
36		nfra1 2941	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. x e. A C e. B
37		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ x e. A /\ y = C ) -> y = C )
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ x e. A ) -> x e. A )
39		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ x e. A ) -> C e. B )
40	38, 39, 17	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = C )
41	40	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ x e. A ) -> C = ( F ` x ) )
42	41	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ x e. A /\ y = C ) -> C = ( F ` x ) )
43	37, 42	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ x e. A /\ y = C ) -> y = ( F ` x ) )
44	43	3exp 1264	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A C e. B -> ( x e. A -> ( y = C -> y = ( F ` x ) ) ) )
45	36, 44	reximdai 3012	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A C e. B -> ( E. x e. A y = C -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
46	45	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ E. x e. A y = C ) -> E. x e. A y = ( F ` x ) )
47	33, 35, 46	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) /\ y e. B ) -> E. x e. A y = ( F ` x ) )
48	47	ex 450	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) -> ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
49	32, 48	ralrimi 2957	. . . 4 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) -> A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) )
50	29, 49	jca 554	. . 3 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
51	50, 4	sylibr 224	. 2 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) -> F : A -onto-> B )
52	27, 51	impbii 199	1 |- ( F : A -onto-> B <-> ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. B E. x e. A y = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  disjinfi  39380