Theorem frgr1v 27135

Description: Any graph with (at most) one vertex is a friendship graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Oct-2017.) (Revised by AV, 29-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
frgr1v	|- ( ( G e. USGraph /\ (Vtx ` G ) = { N } ) -> G e. FriendGraph )

Proof of Theorem frgr1v

Dummy variables k l x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. 2 |- ( ( G e. USGraph /\ (Vtx ` G ) = { N } ) -> G e. USGraph )
2		ral0 4076	. . . . 5 |- A. l e. (/) E! x e. { N } { { x , N } , { x , l } } C_ (Edg ` G )
3		sneq 4187	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> { k } = { N } )
4	3	difeq2d 3728	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( { N } \ { k } ) = ( { N } \ { N } ) )
5		difid 3948	. . . . . . . 8 |- ( { N } \ { N } ) = (/)
6	4, 5	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( { N } \ { k } ) = (/) )
7		preq2 4269	. . . . . . . . . 10 |- ( k = N -> { x , k } = { x , N } )
8	7	preq1d 4274	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> { { x , k } , { x , l } } = { { x , N } , { x , l } } )
9	8	sseq1d 3632	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> { { x , N } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
10	9	reubidv 3126	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( E! x e. { N } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> E! x e. { N } { { x , N } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
11	6, 10	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( k = N -> ( A. l e. ( { N } \ { k } ) E! x e. { N } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> A. l e. (/) E! x e. { N } { { x , N } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
12	11	ralsng 4218	. . . . 5 |- ( N e. _V -> ( A. k e. { N } A. l e. ( { N } \ { k } ) E! x e. { N } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> A. l e. (/) E! x e. { N } { { x , N } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
13	2, 12	mpbiri 248	. . . 4 |- ( N e. _V -> A. k e. { N } A. l e. ( { N } \ { k } ) E! x e. { N } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) )
14		snprc 4253	. . . . 5 |- ( -. N e. _V <-> { N } = (/) )
15		rzal 4073	. . . . 5 |- ( { N } = (/) -> A. k e. { N } A. l e. ( { N } \ { k } ) E! x e. { N } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) )
16	14, 15	sylbi 207	. . . 4 |- ( -. N e. _V -> A. k e. { N } A. l e. ( { N } \ { k } ) E! x e. { N } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) )
17	13, 16	pm2.61i 176	. . 3 |- A. k e. { N } A. l e. ( { N } \ { k } ) E! x e. { N } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G )
18		id 22	. . . . 5 |- ( (Vtx ` G ) = { N } -> (Vtx ` G ) = { N } )
19		difeq1 3721	. . . . . 6 |- ( (Vtx ` G ) = { N } -> ( (Vtx ` G ) \ { k } ) = ( { N } \ { k } ) )
20		reueq1 3140	. . . . . 6 |- ( (Vtx ` G ) = { N } -> ( E! x e. (Vtx ` G ) { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> E! x e. { N } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
21	19, 20	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( (Vtx ` G ) = { N } -> ( A. l e. ( (Vtx ` G ) \ { k } ) E! x e. (Vtx ` G ) { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> A. l e. ( { N } \ { k } ) E! x e. { N } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
22	18, 21	raleqbidv 3152	. . . 4 |- ( (Vtx ` G ) = { N } -> ( A. k e. (Vtx ` G ) A. l e. ( (Vtx ` G ) \ { k } ) E! x e. (Vtx ` G ) { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> A. k e. { N } A. l e. ( { N } \ { k } ) E! x e. { N } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
23	22	adantl 482	. . 3 |- ( ( G e. USGraph /\ (Vtx ` G ) = { N } ) -> ( A. k e. (Vtx ` G ) A. l e. ( (Vtx ` G ) \ { k } ) E! x e. (Vtx ` G ) { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> A. k e. { N } A. l e. ( { N } \ { k } ) E! x e. { N } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
24	17, 23	mpbiri 248	. 2 |- ( ( G e. USGraph /\ (Vtx ` G ) = { N } ) -> A. k e. (Vtx ` G ) A. l e. ( (Vtx ` G ) \ { k } ) E! x e. (Vtx ` G ) { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) )
25		eqid 2622	. . 3 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
26		eqid 2622	. . 3 |- (Edg ` G ) = (Edg ` G )
27	25, 26	frgrusgrfrcond 27123	. 2 |- ( G e. FriendGraph <-> ( G e. USGraph /\ A. k e. (Vtx ` G ) A. l e. ( (Vtx ` G ) \ { k } ) E! x e. (Vtx ` G ) { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
28	1, 24, 27	sylanbrc 698	1 |- ( ( G e. USGraph /\ (Vtx ` G ) = { N } ) -> G e. FriendGraph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E!wreu 2914   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   ` cfv 5888  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   USGraph cusgr 26044   FriendGraph cfrgr 27120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-frgr 27121

This theorem is referenced by: (None)