MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfrgr2v Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem nfrgr2v 27136
Description: Any graph with two (different) vertices is not a friendship graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
nfrgr2v |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ (Vtx ` G ) = { A , B } ) -> G e/ FriendGraph )
Proof of Theorem nfrgr2v
Dummy variables k l x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neirr 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -. A =/= A
2 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (Edg ` G ) = (Edg ` G )
32usgredgne 26098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G e. USGraph /\ { A , A } e. (Edg ` G ) ) -> A =/= A )
43ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G e. USGraph -> ( { A , A } e. (Edg ` G ) -> A =/= A ) )
51, 4mtoi 190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G e. USGraph -> -. { A , A } e. (Edg ` G ) )
65adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> -. { A , A } e. (Edg ` G ) )
76intnanrd 963 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> -. ( { A , A } e. (Edg ` G ) /\ { A , B } e. (Edg ` G ) ) )
8 prex 4909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { A , A } e. _V
9 prex 4909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { A , B } e. _V
108, 9prss 4351 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { A , A } e. (Edg ` G ) /\ { A , B } e. (Edg ` G ) ) <-> { { A , A } , { A , B } } C_ (Edg ` G ) )
117, 10sylnib 318 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> -. { { A , A } , { A , B } } C_ (Edg ` G ) )
12 neirr 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -. B =/= B
132usgredgne 26098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G e. USGraph /\ { B , B } e. (Edg ` G ) ) -> B =/= B )
1413ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G e. USGraph -> ( { B , B } e. (Edg ` G ) -> B =/= B ) )
1512, 14mtoi 190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G e. USGraph -> -. { B , B } e. (Edg ` G ) )
1615adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> -. { B , B } e. (Edg ` G ) )
1716intnand 962 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> -. ( { B , A } e. (Edg ` G ) /\ { B , B } e. (Edg ` G ) ) )
18 prex 4909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { B , A } e. _V
19 prex 4909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { B , B } e. _V
2018, 19prss 4351 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { B , A } e. (Edg ` G ) /\ { B , B } e. (Edg ` G ) ) <-> { { B , A } , { B , B } } C_ (Edg ` G ) )
2117, 20sylnib 318 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> -. { { B , A } , { B , B } } C_ (Edg ` G ) )
22 ioran 511 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( { { A , A } , { A , B } } C_ (Edg ` G ) \/ { { B , A } , { B , B } } C_ (Edg ` G ) ) <-> ( -. { { A , A } , { A , B } } C_ (Edg ` G ) /\ -. { { B , A } , { B , B } } C_ (Edg ` G ) ) )
2311, 21, 22sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> -. ( { { A , A } , { A , B } } C_ (Edg ` G ) \/ { { B , A } , { B , B } } C_ (Edg ` G ) ) )
24 preq1 4268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = A -> { x , A } = { A , A } )
25 preq1 4268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = A -> { x , B } = { A , B } )
2624, 25preq12d 4276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = A -> { { x , A } , { x , B } } = { { A , A } , { A , B } } )
2726sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = A -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ (Edg ` G ) <-> { { A , A } , { A , B } } C_ (Edg ` G ) ) )
28 preq1 4268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = B -> { x , A } = { B , A } )
29 preq1 4268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = B -> { x , B } = { B , B } )
3028, 29preq12d 4276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = B -> { { x , A } , { x , B } } = { { B , A } , { B , B } } )
3130sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = B -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ (Edg ` G ) <-> { { B , A } , { B , B } } C_ (Edg ` G ) ) )
3227, 31rexprg 4235 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ (Edg ` G ) <-> ( { { A , A } , { A , B } } C_ (Edg ` G ) \/ { { B , A } , { B , B } } C_ (Edg ` G ) ) ) )
33323adant3 1081 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> ( E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ (Edg ` G ) <-> ( { { A , A } , { A , B } } C_ (Edg ` G ) \/ { { B , A } , { B , B } } C_ (Edg ` G ) ) ) )
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> ( E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ (Edg ` G ) <-> ( { { A , A } , { A , B } } C_ (Edg ` G ) \/ { { B , A } , { B , B } } C_ (Edg ` G ) ) ) )
3523, 34mtbird 315 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> -. E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ (Edg ` G ) )
36 reurex 3160 . . . . . . . . . . . 12 |- ( E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ (Edg ` G ) -> E. x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ (Edg ` G ) )
3735, 36nsyl 135 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ (Edg ` G ) )
3837orcd 407 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> ( -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ (Edg ` G ) \/ -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ (Edg ` G ) ) )
39 rexnal 2995 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) )
4039bicomi 214 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) )
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
42 difprsn1 4330 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )
43423ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> ( { A , B } \ { A } ) = { B } )
4544rexeqdv 3145 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> ( E. l e. ( { A , B } \ { A } ) -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> E. l e. { B } -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
46 preq2 4269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = B -> { x , l } = { x , B } )
4746preq2d 4275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = B -> { { x , A } , { x , l } } = { { x , A } , { x , B } } )
4847sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l = B -> ( { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> { { x , A } , { x , B } } C_ (Edg ` G ) ) )
4948reubidv 3126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = B -> ( E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ (Edg ` G ) ) )
5049notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = B -> ( -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ (Edg ` G ) ) )
5150rexsng 4219 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. Y -> ( E. l e. { B } -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ (Edg ` G ) ) )
52513ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> ( E. l e. { B } -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ (Edg ` G ) ) )
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> ( E. l e. { B } -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ (Edg ` G ) ) )
5441, 45, 533bitrd 294 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ (Edg ` G ) ) )
55 rexnal 2995 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) )
5655bicomi 214 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) )
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
58 difprsn2 4331 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A =/= B -> ( { A , B } \ { B } ) = { A } )
59583ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> ( { A , B } \ { B } ) = { A } )
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> ( { A , B } \ { B } ) = { A } )
6160rexeqdv 3145 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> ( E. l e. ( { A , B } \ { B } ) -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> E. l e. { A } -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
62 preq2 4269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l = A -> { x , l } = { x , A } )
6362preq2d 4275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = A -> { { x , B } , { x , l } } = { { x , B } , { x , A } } )
6463sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l = A -> ( { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> { { x , B } , { x , A } } C_ (Edg ` G ) ) )
6564reubidv 3126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = A -> ( E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ (Edg ` G ) ) )
6665notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = A -> ( -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ (Edg ` G ) ) )
6766rexsng 4219 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. X -> ( E. l e. { A } -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ (Edg ` G ) ) )
68673ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> ( E. l e. { A } -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ (Edg ` G ) ) )
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> ( E. l e. { A } -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ (Edg ` G ) ) )
7057, 61, 693bitrd 294 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ (Edg ` G ) ) )
7154, 70orbi12d 746 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> ( ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) <-> ( -. E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , B } } C_ (Edg ` G ) \/ -. E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , A } } C_ (Edg ` G ) ) ) )
7238, 71mpbird 247 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
73 sneq 4187 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = A -> { k } = { A } )
7473difeq2d 3728 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = A -> ( { A , B } \ { k } ) = ( { A , B } \ { A } ) )
75 preq2 4269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = A -> { x , k } = { x , A } )
7675preq1d 4274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = A -> { { x , k } , { x , l } } = { { x , A } , { x , l } } )
7776sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = A -> ( { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
7877reubidv 3126 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = A -> ( E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
7974, 78raleqbidv 3152 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = A -> ( A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
8079notbid 308 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k = A -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
81 sneq 4187 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = B -> { k } = { B } )
8281difeq2d 3728 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = B -> ( { A , B } \ { k } ) = ( { A , B } \ { B } ) )
83 preq2 4269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = B -> { x , k } = { x , B } )
8483preq1d 4274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = B -> { { x , k } , { x , l } } = { { x , B } , { x , l } } )
8584sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = B -> ( { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
8685reubidv 3126 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = B -> ( E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
8782, 86raleqbidv 3152 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = B -> ( A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
8887notbid 308 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k = B -> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
8980, 88rexprg 4235 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) ) )
90893adant3 1081 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) -> ( E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) ) )
9190adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> ( E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> ( -. A. l e. ( { A , B } \ { A } ) E! x e. { A , B } { { x , A } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) \/ -. A. l e. ( { A , B } \ { B } ) E! x e. { A , B } { { x , B } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) ) )
9272, 91mpbird 247 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) )
93 rexnal 2995 . . . . . . . 8 |- ( E. k e. { A , B } -. A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> -. A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) )
9492, 93sylib 208 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> -. A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) )
9594intnand 962 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ G e. USGraph ) -> -. ( G e. USGraph /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
9695adantlr 751 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ (Vtx ` G ) = { A , B } ) /\ G e. USGraph ) -> -. ( G e. USGraph /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
97 id 22 . . . . . . . . . 10 |- ( (Vtx ` G ) = { A , B } -> (Vtx ` G ) = { A , B } )
98 difeq1 3721 . . . . . . . . . . 11 |- ( (Vtx ` G ) = { A , B } -> ( (Vtx ` G ) \ { k } ) = ( { A , B } \ { k } ) )
99 reueq1 3140 . . . . . . . . . . 11 |- ( (Vtx ` G ) = { A , B } -> ( E! x e. (Vtx ` G ) { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
10098, 99raleqbidv 3152 . . . . . . . . . 10 |- ( (Vtx ` G ) = { A , B } -> ( A. l e. ( (Vtx ` G ) \ { k } ) E! x e. (Vtx ` G ) { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
10197, 100raleqbidv 3152 . . . . . . . . 9 |- ( (Vtx ` G ) = { A , B } -> ( A. k e. (Vtx ` G ) A. l e. ( (Vtx ` G ) \ { k } ) E! x e. (Vtx ` G ) { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) <-> A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
102101anbi2d 740 . . . . . . . 8 |- ( (Vtx ` G ) = { A , B } -> ( ( G e. USGraph /\ A. k e. (Vtx ` G ) A. l e. ( (Vtx ` G ) \ { k } ) E! x e. (Vtx ` G ) { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) <-> ( G e. USGraph /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) ) )
103102notbid 308 . . . . . . 7 |- ( (Vtx ` G ) = { A , B } -> ( -. ( G e. USGraph /\ A. k e. (Vtx ` G ) A. l e. ( (Vtx ` G ) \ { k } ) E! x e. (Vtx ` G ) { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) <-> -. ( G e. USGraph /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) ) )
104103adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ (Vtx ` G ) = { A , B } ) -> ( -. ( G e. USGraph /\ A. k e. (Vtx ` G ) A. l e. ( (Vtx ` G ) \ { k } ) E! x e. (Vtx ` G ) { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) <-> -. ( G e. USGraph /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) ) )
105104adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ (Vtx ` G ) = { A , B } ) /\ G e. USGraph ) -> ( -. ( G e. USGraph /\ A. k e. (Vtx ` G ) A. l e. ( (Vtx ` G ) \ { k } ) E! x e. (Vtx ` G ) { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) <-> -. ( G e. USGraph /\ A. k e. { A , B } A. l e. ( { A , B } \ { k } ) E! x e. { A , B } { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) ) )
10696, 105mpbird 247 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ (Vtx ` G ) = { A , B } ) /\ G e. USGraph ) -> -. ( G e. USGraph /\ A. k e. (Vtx ` G ) A. l e. ( (Vtx ` G ) \ { k } ) E! x e. (Vtx ` G ) { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
107 df-nel 2898 . . . . 5 |- ( G e/ FriendGraph <-> -. G e. FriendGraph )
108 eqid 2622 . . . . . 6 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
109108, 2frgrusgrfrcond 27123 . . . . 5 |- ( G e. FriendGraph <-> ( G e. USGraph /\ A. k e. (Vtx ` G ) A. l e. ( (Vtx ` G ) \ { k } ) E! x e. (Vtx ` G ) { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
110107, 109xchbinx 324 . . . 4 |- ( G e/ FriendGraph <-> -. ( G e. USGraph /\ A. k e. (Vtx ` G ) A. l e. ( (Vtx ` G ) \ { k } ) E! x e. (Vtx ` G ) { { x , k } , { x , l } } C_ (Edg ` G ) ) )
111106, 110sylibr 224 . . 3 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ (Vtx ` G ) = { A , B } ) /\ G e. USGraph ) -> G e/ FriendGraph )
112111expcom 451 . 2 |- ( G e. USGraph -> ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ (Vtx ` G ) = { A , B } ) -> G e/ FriendGraph ) )
113 frgrusgr 27124 . . . . 5 |- ( G e. FriendGraph -> G e. USGraph )
114113con3i 150 . . . 4 |- ( -. G e. USGraph -> -. G e. FriendGraph )
115114, 107sylibr 224 . . 3 |- ( -. G e. USGraph -> G e/ FriendGraph )
116115a1d 25 . 2 |- ( -. G e. USGraph -> ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ (Vtx ` G ) = { A , B } ) -> G e/ FriendGraph ) )
117112, 116pm2.61i 176 1 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ (Vtx ` G ) = { A , B } ) -> G e/ FriendGraph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   ` cfv 5888  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   USGraph cusgr 26044   FriendGraph cfrgr 27120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-umgr 25978  df-usgr 26046  df-frgr 27121
This theorem is referenced by:  1to2vfriswmgr  27143  frgrregord013  27253
  Copyright terms: Public domain W3C validator