Theorem frrlem4 31783

Description: Lemma for founded recursion. Properties of the restriction of an acceptable function to the domain of another acceptable function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
frrlem4.1	|- B = { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
frrlem4	|- ( ( g e. B /\ h e. B ) -> ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) Fn ( dom g i^i dom h ) /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) ` a ) = ( a G ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) |` Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, a, f, g   A, h, x, y, a   B, a   f, h, x, y   G, a, f, g   h, G, x, y   x, g, y   R, a, f, g   R, h, x, y

Allowed substitution hints:   B( x, y, f, g, h)

Proof of Theorem frrlem4

Dummy variables b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frrlem4.1	. . . . . 6 |- B = { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( y G ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) }
2	1	frrlem2 31781	. . . . 5 |- ( g e. B -> Fun g )
3		funfn 5918	. . . . 5 |- ( Fun g <-> g Fn dom g )
4	2, 3	sylib 208	. . . 4 |- ( g e. B -> g Fn dom g )
5		fnresin1 6005	. . . 4 |- ( g Fn dom g -> ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) Fn ( dom g i^i dom h ) )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( g e. B -> ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) Fn ( dom g i^i dom h ) )
7	6	adantr 481	. 2 |- ( ( g e. B /\ h e. B ) -> ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) Fn ( dom g i^i dom h ) )
8		inss1 3833	. . . . . . . 8 |- ( dom g i^i dom h ) C_ dom g
9	8	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( a e. ( dom g i^i dom h ) -> a e. dom g )
10	1	frrlem1 31780	. . . . . . . . 9 |- B = { g | E. b ( g Fn b /\ ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) }
11	10	abeq2i 2735	. . . . . . . 8 |- ( g e. B <-> E. b ( g Fn b /\ ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) )
12		fndm 5990	. . . . . . . . . 10 |- ( g Fn b -> dom g = b )
13		rsp 2929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. a e. b ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) -> ( a e. b -> ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) )
14	13	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) -> ( a e. b -> ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) )
15		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dom g = b -> ( a e. dom g <-> a e. b ) )
16	15	imbi1d 331	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom g = b -> ( ( a e. dom g -> ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) <-> ( a e. b -> ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) )
17	14, 16	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) -> ( dom g = b -> ( a e. dom g -> ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) )
18	12, 17	mpan9 486	. . . . . . . . 9 |- ( ( g Fn b /\ ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) -> ( a e. dom g -> ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) )
19	18	exlimiv 1858	. . . . . . . 8 |- ( E. b ( g Fn b /\ ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) -> ( a e. dom g -> ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) )
20	11, 19	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( g e. B -> ( a e. dom g -> ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) )
21	9, 20	syl5 34	. . . . . 6 |- ( g e. B -> ( a e. ( dom g i^i dom h ) -> ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) )
22	21	imp 445	. . . . 5 |- ( ( g e. B /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) )
23	22	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) )
24		fvres 6207	. . . . 5 |- ( a e. ( dom g i^i dom h ) -> ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) ` a ) = ( g ` a ) )
25	24	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) ` a ) = ( g ` a ) )
26		resres 5409	. . . . . 6 |- ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) |` Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) = ( g |` ( ( dom g i^i dom h ) i^i Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) )
27		predss 5687	. . . . . . . . 9 |- Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) C_ ( dom g i^i dom h )
28		sseqin2 3817	. . . . . . . . 9 |- ( Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) <-> ( ( dom g i^i dom h ) i^i Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) = Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) )
29	27, 28	mpbi 220	. . . . . . . 8 |- ( ( dom g i^i dom h ) i^i Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) = Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a )
30	1	frrlem1 31780	. . . . . . . . . . . 12 |- B = { h | E. c ( h Fn c /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( a G ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) }
31	30	abeq2i 2735	. . . . . . . . . . 11 |- ( h e. B <-> E. c ( h Fn c /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( a G ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) )
32		eeanv 2182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. b E. c ( ( g Fn b /\ ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) /\ ( h Fn c /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( a G ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) ) <-> ( E. b ( g Fn b /\ ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) /\ E. c ( h Fn c /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( a G ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) ) )
33		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( a G ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) -> b C_ A )
34		ssinss1 3841	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b C_ A -> ( b i^i c ) C_ A )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( a G ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) -> ( b i^i c ) C_ A )
36		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( a G ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) -> A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b )
37		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( a G ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) -> A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c )
38		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ a A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b
39		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ a A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c
40	38, 39	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ a ( A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c )
41		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( b i^i c ) C_ b
42	41	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a e. ( b i^i c ) -> a e. b )
43		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b -> ( a e. b -> Pred ( R , A , a ) C_ b ) )
44	42, 43	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. ( b i^i c ) -> ( A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b -> Pred ( R , A , a ) C_ b ) )
45		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( b i^i c ) C_ c
46	45	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a e. ( b i^i c ) -> a e. c )
47		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c -> ( a e. c -> Pred ( R , A , a ) C_ c ) )
48	46, 47	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a e. ( b i^i c ) -> ( A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c -> Pred ( R , A , a ) C_ c ) )
49	44, 48	anim12d 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a e. ( b i^i c ) -> ( ( A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) -> ( Pred ( R , A , a ) C_ b /\ Pred ( R , A , a ) C_ c ) ) )
50		ssin 3835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Pred ( R , A , a ) C_ b /\ Pred ( R , A , a ) C_ c ) <-> Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) )
51	50	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Pred ( R , A , a ) C_ b /\ Pred ( R , A , a ) C_ c ) -> Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) )
52	49, 51	syl6com 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) -> ( a e. ( b i^i c ) -> Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) ) )
53	40, 52	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c ) -> A. a e. ( b i^i c ) Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) )
54	36, 37, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( a G ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) -> A. a e. ( b i^i c ) Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) )
55		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h Fn c -> dom h = c )
56		ineq12 3809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( dom g = b /\ dom h = c ) -> ( dom g i^i dom h ) = ( b i^i c ) )
57	56	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( dom g = b /\ dom h = c ) -> ( ( dom g i^i dom h ) C_ A <-> ( b i^i c ) C_ A ) )
58		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( dom g i^i dom h ) = ( b i^i c ) -> ( Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) <-> Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) ) )
59	58	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( dom g i^i dom h ) = ( b i^i c ) -> ( A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) <-> A. a e. ( b i^i c ) Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) ) )
60	56, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( dom g = b /\ dom h = c ) -> ( A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) <-> A. a e. ( b i^i c ) Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) ) )
61	57, 60	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( dom g = b /\ dom h = c ) -> ( ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) <-> ( ( b i^i c ) C_ A /\ A. a e. ( b i^i c ) Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) ) ) )
62	12, 55, 61	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g Fn b /\ h Fn c ) -> ( ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) <-> ( ( b i^i c ) C_ A /\ A. a e. ( b i^i c ) Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) ) ) )
63	62	biimprcd 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b i^i c ) C_ A /\ A. a e. ( b i^i c ) Pred ( R , A , a ) C_ ( b i^i c ) ) -> ( ( g Fn b /\ h Fn c ) -> ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) ) )
64	35, 54, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( a G ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) -> ( ( g Fn b /\ h Fn c ) -> ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) ) )
65	64	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g Fn b /\ h Fn c ) /\ ( ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( a G ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) ) -> ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) )
66	65	an4s 869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g Fn b /\ ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) /\ ( h Fn c /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( a G ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) ) -> ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) )
67	66	exlimivv 1860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. b E. c ( ( g Fn b /\ ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) /\ ( h Fn c /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( a G ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) ) -> ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) )
68	32, 67	sylbir 225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. b ( g Fn b /\ ( b C_ A /\ A. a e. b Pred ( R , A , a ) C_ b /\ A. a e. b ( g ` a ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) /\ E. c ( h Fn c /\ ( c C_ A /\ A. a e. c Pred ( R , A , a ) C_ c /\ A. a e. c ( h ` a ) = ( a G ( h |` Pred ( R , A , a ) ) ) ) ) ) -> ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) )
69	11, 31, 68	syl2anb 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g e. B /\ h e. B ) -> ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) )
71		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> a e. ( dom g i^i dom h ) )
72		preddowncl 5707	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( dom g i^i dom h ) C_ A /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) Pred ( R , A , a ) C_ ( dom g i^i dom h ) ) -> ( a e. ( dom g i^i dom h ) -> Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) = Pred ( R , A , a ) ) )
73	70, 71, 72	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) = Pred ( R , A , a ) )
74	29, 73	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> ( ( dom g i^i dom h ) i^i Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) = Pred ( R , A , a ) )
75	74	reseq2d 5396	. . . . . 6 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> ( g |` ( ( dom g i^i dom h ) i^i Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) ) = ( g |` Pred ( R , A , a ) ) )
76	26, 75	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) |` Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) = ( g |` Pred ( R , A , a ) ) )
77	76	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> ( a G ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) |` Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) ) = ( a G ( g |` Pred ( R , A , a ) ) ) )
78	23, 25, 77	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ( g e. B /\ h e. B ) /\ a e. ( dom g i^i dom h ) ) -> ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) ` a ) = ( a G ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) |` Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) ) )
79	78	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( g e. B /\ h e. B ) -> A. a e. ( dom g i^i dom h ) ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) ` a ) = ( a G ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) |` Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) ) )
80	7, 79	jca 554	1 |- ( ( g e. B /\ h e. B ) -> ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) Fn ( dom g i^i dom h ) /\ A. a e. ( dom g i^i dom h ) ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) ` a ) = ( a G ( ( g |` ( dom g i^i dom h ) ) |` Pred ( R , ( dom g i^i dom h ) , a ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   dom cdm 5114   |` cres 5116   Predcpred 5679   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-ov 6653

This theorem is referenced by:  frrlem5  31784