Theorem preddowncl 5707

Description: A property of classes that are downward closed under predecessor. (Contributed by Scott Fenton, 13-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
preddowncl	|- ( ( B C_ A /\ A. x e. B Pred ( R , A , x ) C_ B ) -> ( X e. B -> Pred ( R , B , X ) = Pred ( R , A , X ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, R

Allowed substitution hint:   X( x)

Proof of Theorem preddowncl

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( y = X -> ( y e. B <-> X e. B ) )
2		predeq3 5684	. . . . . 6 |- ( y = X -> Pred ( R , B , y ) = Pred ( R , B , X ) )
3		predeq3 5684	. . . . . 6 |- ( y = X -> Pred ( R , A , y ) = Pred ( R , A , X ) )
4	2, 3	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( y = X -> ( Pred ( R , B , y ) = Pred ( R , A , y ) <-> Pred ( R , B , X ) = Pred ( R , A , X ) ) )
5	1, 4	imbi12d 334	. . . 4 |- ( y = X -> ( ( y e. B -> Pred ( R , B , y ) = Pred ( R , A , y ) ) <-> ( X e. B -> Pred ( R , B , X ) = Pred ( R , A , X ) ) ) )
6	5	imbi2d 330	. . 3 |- ( y = X -> ( ( ( B C_ A /\ A. x e. B Pred ( R , A , x ) C_ B ) -> ( y e. B -> Pred ( R , B , y ) = Pred ( R , A , y ) ) ) <-> ( ( B C_ A /\ A. x e. B Pred ( R , A , x ) C_ B ) -> ( X e. B -> Pred ( R , B , X ) = Pred ( R , A , X ) ) ) ) )
7		predpredss 5686	. . . . . 6 |- ( B C_ A -> Pred ( R , B , y ) C_ Pred ( R , A , y ) )
8	7	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( B C_ A /\ A. x e. B Pred ( R , A , x ) C_ B ) /\ y e. B ) -> Pred ( R , B , y ) C_ Pred ( R , A , y ) )
9		predeq3 5684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> Pred ( R , A , x ) = Pred ( R , A , y ) )
10	9	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( Pred ( R , A , x ) C_ B <-> Pred ( R , A , y ) C_ B ) )
11	10	rspccva 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. B Pred ( R , A , x ) C_ B /\ y e. B ) -> Pred ( R , A , y ) C_ B )
12	11	sseld 3602	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. B Pred ( R , A , x ) C_ B /\ y e. B ) -> ( z e. Pred ( R , A , y ) -> z e. B ) )
13		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
14	13	elpredim 5692	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Pred ( R , A , y ) -> z R y )
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. B Pred ( R , A , x ) C_ B /\ y e. B ) -> ( z e. Pred ( R , A , y ) -> z R y ) )
16	12, 15	jcad 555	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. B Pred ( R , A , x ) C_ B /\ y e. B ) -> ( z e. Pred ( R , A , y ) -> ( z e. B /\ z R y ) ) )
17		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
18	17	elpred 5693	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. B -> ( z e. Pred ( R , B , y ) <-> ( z e. B /\ z R y ) ) )
19	18	imbi2d 330	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( ( z e. Pred ( R , A , y ) -> z e. Pred ( R , B , y ) ) <-> ( z e. Pred ( R , A , y ) -> ( z e. B /\ z R y ) ) ) )
20	19	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. B Pred ( R , A , x ) C_ B /\ y e. B ) -> ( ( z e. Pred ( R , A , y ) -> z e. Pred ( R , B , y ) ) <-> ( z e. Pred ( R , A , y ) -> ( z e. B /\ z R y ) ) ) )
21	16, 20	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. B Pred ( R , A , x ) C_ B /\ y e. B ) -> ( z e. Pred ( R , A , y ) -> z e. Pred ( R , B , y ) ) )
22	21	ssrdv 3609	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. B Pred ( R , A , x ) C_ B /\ y e. B ) -> Pred ( R , A , y ) C_ Pred ( R , B , y ) )
23	22	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( B C_ A /\ A. x e. B Pred ( R , A , x ) C_ B ) /\ y e. B ) -> Pred ( R , A , y ) C_ Pred ( R , B , y ) )
24	8, 23	eqssd 3620	. . . 4 |- ( ( ( B C_ A /\ A. x e. B Pred ( R , A , x ) C_ B ) /\ y e. B ) -> Pred ( R , B , y ) = Pred ( R , A , y ) )
25	24	ex 450	. . 3 |- ( ( B C_ A /\ A. x e. B Pred ( R , A , x ) C_ B ) -> ( y e. B -> Pred ( R , B , y ) = Pred ( R , A , y ) ) )
26	6, 25	vtoclg 3266	. 2 |- ( X e. B -> ( ( B C_ A /\ A. x e. B Pred ( R , A , x ) C_ B ) -> ( X e. B -> Pred ( R , B , X ) = Pred ( R , A , X ) ) ) )
27	26	pm2.43b 55	1 |- ( ( B C_ A /\ A. x e. B Pred ( R , A , x ) C_ B ) -> ( X e. B -> Pred ( R , B , X ) = Pred ( R , A , X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   Predcpred 5679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680

This theorem is referenced by:  wfrlem4  7418  frrlem4  31783