Theorem funtp 5945

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
funtp.1	|- A e. _V
funtp.2	|- B e. _V
funtp.3	|- C e. _V
funtp.4	|- D e. _V
funtp.5	|- E e. _V
funtp.6	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
funtp	|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } )

Proof of Theorem funtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funtp.1	. . . . . 6 |- A e. _V
2		funtp.2	. . . . . 6 |- B e. _V
3		funtp.4	. . . . . 6 |- D e. _V
4		funtp.5	. . . . . 6 |- E e. _V
5	1, 2, 3, 4	funpr 5944	. . . . 5 |- ( A =/= B -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. } )
6		funtp.3	. . . . . 6 |- C e. _V
7		funtp.6	. . . . . 6 |- F e. _V
8	6, 7	funsn 5939	. . . . 5 |- Fun { <. C , F >. }
9	5, 8	jctir 561	. . . 4 |- ( A =/= B -> ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. } /\ Fun { <. C , F >. } ) )
10	3, 4	dmprop 5610	. . . . . . 7 |- dom { <. A , D >. , <. B , E >. } = { A , B }
11		df-pr 4180	. . . . . . 7 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
12	10, 11	eqtri 2644	. . . . . 6 |- dom { <. A , D >. , <. B , E >. } = ( { A } u. { B } )
13	7	dmsnop 5609	. . . . . 6 |- dom { <. C , F >. } = { C }
14	12, 13	ineq12i 3812	. . . . 5 |- ( dom { <. A , D >. , <. B , E >. } i^i dom { <. C , F >. } ) = ( ( { A } u. { B } ) i^i { C } )
15		disjsn2 4247	. . . . . . 7 |- ( A =/= C -> ( { A } i^i { C } ) = (/) )
16		disjsn2 4247	. . . . . . 7 |- ( B =/= C -> ( { B } i^i { C } ) = (/) )
17	15, 16	anim12i 590	. . . . . 6 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( ( { A } i^i { C } ) = (/) /\ ( { B } i^i { C } ) = (/) ) )
18		undisj1 4029	. . . . . 6 |- ( ( ( { A } i^i { C } ) = (/) /\ ( { B } i^i { C } ) = (/) ) <-> ( ( { A } u. { B } ) i^i { C } ) = (/) )
19	17, 18	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( ( { A } u. { B } ) i^i { C } ) = (/) )
20	14, 19	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( dom { <. A , D >. , <. B , E >. } i^i dom { <. C , F >. } ) = (/) )
21		funun 5932	. . . 4 |- ( ( ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. } /\ Fun { <. C , F >. } ) /\ ( dom { <. A , D >. , <. B , E >. } i^i dom { <. C , F >. } ) = (/) ) -> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
22	9, 20, 21	syl2an 494	. . 3 |- ( ( A =/= B /\ ( A =/= C /\ B =/= C ) ) -> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
23	22	3impb 1260	. 2 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
24		df-tp 4182	. . 3 |- { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } )
25	24	funeqi 5909	. 2 |- ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } <-> Fun ( { <. A , D >. , <. B , E >. } u. { <. C , F >. } ) )
26	23, 25	sylibr 224	1 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   {ctp 4181   <.cop 4183   dom cdm 5114   Fun wfun 5882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-fun 5890

This theorem is referenced by:  fntp  5949  fntpb  6473  cnfldfun  19758