Theorem fvun 6268

Description: Value of the union of two functions when the domains are separate. (Contributed by FL, 7-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fvun	|- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( F u. G ) ` A ) = ( ( F ` A ) u. ( G ` A ) ) )

Proof of Theorem fvun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funun 5932	. . 3 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> Fun ( F u. G ) )
2		funfv 6265	. . 3 |- ( Fun ( F u. G ) -> ( ( F u. G ) ` A ) = U. ( ( F u. G ) " { A } ) )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( F u. G ) ` A ) = U. ( ( F u. G ) " { A } ) )
4		imaundir 5546	. . . 4 |- ( ( F u. G ) " { A } ) = ( ( F " { A } ) u. ( G " { A } ) )
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( F u. G ) " { A } ) = ( ( F " { A } ) u. ( G " { A } ) ) )
6	5	unieqd 4446	. 2 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> U. ( ( F u. G ) " { A } ) = U. ( ( F " { A } ) u. ( G " { A } ) ) )
7		uniun 4456	. . 3 |- U. ( ( F " { A } ) u. ( G " { A } ) ) = ( U. ( F " { A } ) u. U. ( G " { A } ) )
8		funfv 6265	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> ( F ` A ) = U. ( F " { A } ) )
9	8	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( Fun F -> U. ( F " { A } ) = ( F ` A ) )
10		funfv 6265	. . . . . . 7 |- ( Fun G -> ( G ` A ) = U. ( G " { A } ) )
11	10	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( Fun G -> U. ( G " { A } ) = ( G ` A ) )
12	9, 11	anim12i 590	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> ( U. ( F " { A } ) = ( F ` A ) /\ U. ( G " { A } ) = ( G ` A ) ) )
13	12	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( U. ( F " { A } ) = ( F ` A ) /\ U. ( G " { A } ) = ( G ` A ) ) )
14		uneq12 3762	. . . 4 |- ( ( U. ( F " { A } ) = ( F ` A ) /\ U. ( G " { A } ) = ( G ` A ) ) -> ( U. ( F " { A } ) u. U. ( G " { A } ) ) = ( ( F ` A ) u. ( G ` A ) ) )
15	13, 14	syl 17	. . 3 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( U. ( F " { A } ) u. U. ( G " { A } ) ) = ( ( F ` A ) u. ( G ` A ) ) )
16	7, 15	syl5eq 2668	. 2 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> U. ( ( F " { A } ) u. ( G " { A } ) ) = ( ( F ` A ) u. ( G ` A ) ) )
17	3, 6, 16	3eqtrd 2660	1 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( F u. G ) ` A ) = ( ( F ` A ) u. ( G ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  fvun1  6269  undifixp  7944