Theorem undifixp 7944

Description: Union of two projections of a cartesian product. (Contributed by FL, 7-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
undifixp	|- ( ( F e. X_ x e. B C /\ G e. X_ x e. ( A \ B ) C /\ B C_ A ) -> ( F u. G ) e. X_ x e. A C )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, G

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem undifixp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexg 6959	. . 3 |- ( ( F e. X_ x e. B C /\ G e. X_ x e. ( A \ B ) C ) -> ( F u. G ) e. _V )
2	1	3adant3 1081	. 2 |- ( ( F e. X_ x e. B C /\ G e. X_ x e. ( A \ B ) C /\ B C_ A ) -> ( F u. G ) e. _V )
3		ixpfn 7914	. . . 4 |- ( G e. X_ x e. ( A \ B ) C -> G Fn ( A \ B ) )
4		ixpfn 7914	. . . 4 |- ( F e. X_ x e. B C -> F Fn B )
5		3simpa 1058	. . . . . . . 8 |- ( ( G Fn ( A \ B ) /\ F Fn B /\ B C_ A ) -> ( G Fn ( A \ B ) /\ F Fn B ) )
6	5	ancomd 467	. . . . . . 7 |- ( ( G Fn ( A \ B ) /\ F Fn B /\ B C_ A ) -> ( F Fn B /\ G Fn ( A \ B ) ) )
7		disjdif 4040	. . . . . . 7 |- ( B i^i ( A \ B ) ) = (/)
8		fnun 5997	. . . . . . 7 |- ( ( ( F Fn B /\ G Fn ( A \ B ) ) /\ ( B i^i ( A \ B ) ) = (/) ) -> ( F u. G ) Fn ( B u. ( A \ B ) ) )
9	6, 7, 8	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( G Fn ( A \ B ) /\ F Fn B /\ B C_ A ) -> ( F u. G ) Fn ( B u. ( A \ B ) ) )
10		undif 4049	. . . . . . . . . 10 |- ( B C_ A <-> ( B u. ( A \ B ) ) = A )
11	10	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ A -> ( B u. ( A \ B ) ) = A )
12	11	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( B C_ A -> A = ( B u. ( A \ B ) ) )
13	12	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( G Fn ( A \ B ) /\ F Fn B /\ B C_ A ) -> A = ( B u. ( A \ B ) ) )
14	13	fneq2d 5982	. . . . . 6 |- ( ( G Fn ( A \ B ) /\ F Fn B /\ B C_ A ) -> ( ( F u. G ) Fn A <-> ( F u. G ) Fn ( B u. ( A \ B ) ) ) )
15	9, 14	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( G Fn ( A \ B ) /\ F Fn B /\ B C_ A ) -> ( F u. G ) Fn A )
16	15	3exp 1264	. . . 4 |- ( G Fn ( A \ B ) -> ( F Fn B -> ( B C_ A -> ( F u. G ) Fn A ) ) )
17	3, 4, 16	syl2imc 41	. . 3 |- ( F e. X_ x e. B C -> ( G e. X_ x e. ( A \ B ) C -> ( B C_ A -> ( F u. G ) Fn A ) ) )
18	17	3imp 1256	. 2 |- ( ( F e. X_ x e. B C /\ G e. X_ x e. ( A \ B ) C /\ B C_ A ) -> ( F u. G ) Fn A )
19		elixp2 7912	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. X_ x e. B C <-> ( F e. _V /\ F Fn B /\ A. x e. B ( F ` x ) e. C ) )
20	19	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. X_ x e. B C -> A. x e. B ( F ` x ) e. C )
21		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G Fn ( A \ B ) -> dom G = ( A \ B ) )
22		elndif 3734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. B -> -. x e. ( A \ B ) )
23		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A \ B ) = dom G -> ( x e. ( A \ B ) <-> x e. dom G ) )
24	23	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A \ B ) = dom G -> ( -. x e. ( A \ B ) <-> -. x e. dom G ) )
25	24	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom G = ( A \ B ) -> ( -. x e. ( A \ B ) <-> -. x e. dom G ) )
26		ndmfv 6218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x e. dom G -> ( G ` x ) = (/) )
27	25, 26	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom G = ( A \ B ) -> ( -. x e. ( A \ B ) -> ( G ` x ) = (/) ) )
28	21, 22, 27	syl2im 40	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G Fn ( A \ B ) -> ( x e. B -> ( G ` x ) = (/) ) )
29	28	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G Fn ( A \ B ) -> A. x e. B ( G ` x ) = (/) )
30		uneq2 3761	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G ` x ) = (/) -> ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) = ( ( F ` x ) u. (/) ) )
31		un0 3967	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` x ) u. (/) ) = ( F ` x )
32		eqtr 2641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) = ( ( F ` x ) u. (/) ) /\ ( ( F ` x ) u. (/) ) = ( F ` x ) ) -> ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) = ( F ` x ) )
33		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) = ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) -> ( ( F ` x ) e. C <-> ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
34	33	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` x ) = ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) -> ( ( F ` x ) e. C -> ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
35	34	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) = ( F ` x ) -> ( ( F ` x ) e. C -> ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
36	32, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) = ( ( F ` x ) u. (/) ) /\ ( ( F ` x ) u. (/) ) = ( F ` x ) ) -> ( ( F ` x ) e. C -> ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
37	30, 31, 36	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G ` x ) = (/) -> ( ( F ` x ) e. C -> ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
38	37	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` x ) e. C -> ( ( G ` x ) = (/) -> ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
39	38	ral2imi 2947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. B ( F ` x ) e. C -> ( A. x e. B ( G ` x ) = (/) -> A. x e. B ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
40	20, 29, 39	syl2imc 41	. . . . . . . . . . 11 |- ( G Fn ( A \ B ) -> ( F e. X_ x e. B C -> A. x e. B ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
41	3, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. X_ x e. ( A \ B ) C -> ( F e. X_ x e. B C -> A. x e. B ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
42	41	impcom 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. X_ x e. B C /\ G e. X_ x e. ( A \ B ) C ) -> A. x e. B ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C )
43		elixp2 7912	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. X_ x e. ( A \ B ) C <-> ( G e. _V /\ G Fn ( A \ B ) /\ A. x e. ( A \ B ) ( G ` x ) e. C ) )
44	43	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. X_ x e. ( A \ B ) C -> A. x e. ( A \ B ) ( G ` x ) e. C )
45		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn B -> dom F = B )
46		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( A \ B ) -> -. x e. B )
47		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B = dom F -> ( x e. B <-> x e. dom F ) )
48	47	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B = dom F -> ( -. x e. B <-> -. x e. dom F ) )
49		ndmfv 6218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. x e. dom F -> ( F ` x ) = (/) )
50	48, 49	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B = dom F -> ( -. x e. B -> ( F ` x ) = (/) ) )
51	50	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom F = B -> ( -. x e. B -> ( F ` x ) = (/) ) )
52	45, 46, 51	syl2im 40	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn B -> ( x e. ( A \ B ) -> ( F ` x ) = (/) ) )
53	52	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn B -> A. x e. ( A \ B ) ( F ` x ) = (/) )
54		uneq1 3760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` x ) = (/) -> ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) = ( (/) u. ( G ` x ) ) )
55		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (/) u. ( G ` x ) ) = ( ( G ` x ) u. (/) )
56		eqtr 2641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) = ( (/) u. ( G ` x ) ) /\ ( (/) u. ( G ` x ) ) = ( ( G ` x ) u. (/) ) ) -> ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) = ( ( G ` x ) u. (/) ) )
57		un0 3967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` x ) u. (/) ) = ( G ` x )
58		eqtr 2641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) = ( ( G ` x ) u. (/) ) /\ ( ( G ` x ) u. (/) ) = ( G ` x ) ) -> ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) = ( G ` x ) )
59		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G ` x ) = ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) -> ( ( G ` x ) e. C <-> ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
60	59	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G ` x ) = ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) -> ( ( G ` x ) e. C -> ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
61	60	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) = ( G ` x ) -> ( ( G ` x ) e. C -> ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
62	58, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) = ( ( G ` x ) u. (/) ) /\ ( ( G ` x ) u. (/) ) = ( G ` x ) ) -> ( ( G ` x ) e. C -> ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
63	56, 57, 62	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) = ( (/) u. ( G ` x ) ) /\ ( (/) u. ( G ` x ) ) = ( ( G ` x ) u. (/) ) ) -> ( ( G ` x ) e. C -> ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
64	54, 55, 63	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` x ) = (/) -> ( ( G ` x ) e. C -> ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
65	64	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G ` x ) e. C -> ( ( F ` x ) = (/) -> ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
66	65	ral2imi 2947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. ( A \ B ) ( G ` x ) e. C -> ( A. x e. ( A \ B ) ( F ` x ) = (/) -> A. x e. ( A \ B ) ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
67	44, 53, 66	syl2imc 41	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn B -> ( G e. X_ x e. ( A \ B ) C -> A. x e. ( A \ B ) ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
68	4, 67	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. X_ x e. B C -> ( G e. X_ x e. ( A \ B ) C -> A. x e. ( A \ B ) ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
69	68	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. X_ x e. B C /\ G e. X_ x e. ( A \ B ) C ) -> A. x e. ( A \ B ) ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C )
70		ralunb 3794	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( B u. ( A \ B ) ) ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C <-> ( A. x e. B ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C /\ A. x e. ( A \ B ) ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
71	42, 69, 70	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. X_ x e. B C /\ G e. X_ x e. ( A \ B ) C ) -> A. x e. ( B u. ( A \ B ) ) ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C )
72	71	ex 450	. . . . . . 7 |- ( F e. X_ x e. B C -> ( G e. X_ x e. ( A \ B ) C -> A. x e. ( B u. ( A \ B ) ) ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
73		raleq 3138	. . . . . . . 8 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) -> ( A. x e. A ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C <-> A. x e. ( B u. ( A \ B ) ) ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
74	73	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) -> ( ( G e. X_ x e. ( A \ B ) C -> A. x e. A ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) <-> ( G e. X_ x e. ( A \ B ) C -> A. x e. ( B u. ( A \ B ) ) ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) ) )
75	72, 74	syl5ibr 236	. . . . . 6 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) -> ( F e. X_ x e. B C -> ( G e. X_ x e. ( A \ B ) C -> A. x e. A ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) ) )
76	75	eqcoms 2630	. . . . 5 |- ( ( B u. ( A \ B ) ) = A -> ( F e. X_ x e. B C -> ( G e. X_ x e. ( A \ B ) C -> A. x e. A ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) ) )
77	10, 76	sylbi 207	. . . 4 |- ( B C_ A -> ( F e. X_ x e. B C -> ( G e. X_ x e. ( A \ B ) C -> A. x e. A ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) ) )
78	77	3imp231 1258	. . 3 |- ( ( F e. X_ x e. B C /\ G e. X_ x e. ( A \ B ) C /\ B C_ A ) -> A. x e. A ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C )
79		df-fn 5891	. . . . . 6 |- ( G Fn ( A \ B ) <-> ( Fun G /\ dom G = ( A \ B ) ) )
80		df-fn 5891	. . . . . . . 8 |- ( F Fn B <-> ( Fun F /\ dom F = B ) )
81		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun F /\ dom F = B ) -> Fun F )
82		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun G /\ dom G = ( A \ B ) ) -> Fun G )
83	81, 82	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Fun F /\ dom F = B ) /\ ( Fun G /\ dom G = ( A \ B ) ) ) -> ( Fun F /\ Fun G ) )
84	83	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Fun F /\ dom F = B ) /\ ( Fun G /\ dom G = ( A \ B ) ) /\ B C_ A ) -> ( Fun F /\ Fun G ) )
85		ineq12 3809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( dom F = B /\ dom G = ( A \ B ) ) -> ( dom F i^i dom G ) = ( B i^i ( A \ B ) ) )
86	85, 7	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( dom F = B /\ dom G = ( A \ B ) ) -> ( dom F i^i dom G ) = (/) )
87	86	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Fun F /\ dom F = B ) /\ ( Fun G /\ dom G = ( A \ B ) ) ) -> ( dom F i^i dom G ) = (/) )
88	87	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Fun F /\ dom F = B ) /\ ( Fun G /\ dom G = ( A \ B ) ) /\ B C_ A ) -> ( dom F i^i dom G ) = (/) )
89		fvun 6268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Fun F /\ Fun G ) /\ ( dom F i^i dom G ) = (/) ) -> ( ( F u. G ) ` x ) = ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) )
90	84, 88, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Fun F /\ dom F = B ) /\ ( Fun G /\ dom G = ( A \ B ) ) /\ B C_ A ) -> ( ( F u. G ) ` x ) = ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) )
91	90	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Fun F /\ dom F = B ) /\ ( Fun G /\ dom G = ( A \ B ) ) /\ B C_ A ) -> ( ( ( F u. G ) ` x ) e. C <-> ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
92	91	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Fun F /\ dom F = B ) /\ ( Fun G /\ dom G = ( A \ B ) ) /\ B C_ A ) -> ( A. x e. A ( ( F u. G ) ` x ) e. C <-> A. x e. A ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
93	92	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ dom F = B ) -> ( ( Fun G /\ dom G = ( A \ B ) ) -> ( B C_ A -> ( A. x e. A ( ( F u. G ) ` x ) e. C <-> A. x e. A ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) ) ) )
94	80, 93	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( F Fn B -> ( ( Fun G /\ dom G = ( A \ B ) ) -> ( B C_ A -> ( A. x e. A ( ( F u. G ) ` x ) e. C <-> A. x e. A ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) ) ) )
95	94	com12 32	. . . . . 6 |- ( ( Fun G /\ dom G = ( A \ B ) ) -> ( F Fn B -> ( B C_ A -> ( A. x e. A ( ( F u. G ) ` x ) e. C <-> A. x e. A ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) ) ) )
96	79, 95	sylbi 207	. . . . 5 |- ( G Fn ( A \ B ) -> ( F Fn B -> ( B C_ A -> ( A. x e. A ( ( F u. G ) ` x ) e. C <-> A. x e. A ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) ) ) )
97	3, 4, 96	syl2imc 41	. . . 4 |- ( F e. X_ x e. B C -> ( G e. X_ x e. ( A \ B ) C -> ( B C_ A -> ( A. x e. A ( ( F u. G ) ` x ) e. C <-> A. x e. A ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) ) ) )
98	97	3imp 1256	. . 3 |- ( ( F e. X_ x e. B C /\ G e. X_ x e. ( A \ B ) C /\ B C_ A ) -> ( A. x e. A ( ( F u. G ) ` x ) e. C <-> A. x e. A ( ( F ` x ) u. ( G ` x ) ) e. C ) )
99	78, 98	mpbird 247	. 2 |- ( ( F e. X_ x e. B C /\ G e. X_ x e. ( A \ B ) C /\ B C_ A ) -> A. x e. A ( ( F u. G ) ` x ) e. C )
100		elixp2 7912	. 2 |- ( ( F u. G ) e. X_ x e. A C <-> ( ( F u. G ) e. _V /\ ( F u. G ) Fn A /\ A. x e. A ( ( F u. G ) ` x ) e. C ) )
101	2, 18, 99, 100	syl3anbrc 1246	1 |- ( ( F e. X_ x e. B C /\ G e. X_ x e. ( A \ B ) C /\ B C_ A ) -> ( F u. G ) e. X_ x e. A C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   X_cixp 7908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-ixp 7909

This theorem is referenced by:  ptuncnv  21610  ptunhmeo  21611