Theorem glbprop 16999

Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
glbprop.b	|- B = ( Base ` K )
glbprop.l	|- .<_ = ( le ` K )
glbprop.u	|- U = ( glb ` K )
glbprop.k	|- ( ph -> K e. V )
glbprop.s	|- ( ph -> S e. dom U )

Assertion

Ref	Expression
glbprop	|- ( ph -> ( A. y e. S ( U ` S ) .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ ( U ` S ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, B   y, z, K   y, S, z   y, .<_   y, U, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( y)   .<_ ( z)   V( y, z)

Proof of Theorem glbprop

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		glbprop.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
2		glbprop.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
3		glbprop.u	. . . 4 |- U = ( glb ` K )
4		biid 251	. . . 4 |- ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
5		glbprop.k	. . . 4 |- ( ph -> K e. V )
6		glbprop.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. dom U )
7	1, 2, 3, 5, 6	glbelss 16995	. . . 4 |- ( ph -> S C_ B )
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	glbval 16997	. . 3 |- ( ph -> ( U ` S ) = ( iota_ x e. B ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) )
9	8	eqcomd 2628	. 2 |- ( ph -> ( iota_ x e. B ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) = ( U ` S ) )
10	1, 3, 5, 6	glbcl 16998	. . 3 |- ( ph -> ( U ` S ) e. B )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6	glbeu 16996	. . 3 |- ( ph -> E! x e. B ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) )
12		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( x = ( U ` S ) -> ( x .<_ y <-> ( U ` S ) .<_ y ) )
13	12	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = ( U ` S ) -> ( A. y e. S x .<_ y <-> A. y e. S ( U ` S ) .<_ y ) )
14		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( x = ( U ` S ) -> ( z .<_ x <-> z .<_ ( U ` S ) ) )
15	14	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( x = ( U ` S ) -> ( ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) <-> ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ ( U ` S ) ) ) )
16	15	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = ( U ` S ) -> ( A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) <-> A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ ( U ` S ) ) ) )
17	13, 16	anbi12d 747	. . . 4 |- ( x = ( U ` S ) -> ( ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) <-> ( A. y e. S ( U ` S ) .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ ( U ` S ) ) ) ) )
18	17	riota2 6633	. . 3 |- ( ( ( U ` S ) e. B /\ E! x e. B ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) -> ( ( A. y e. S ( U ` S ) .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ ( U ` S ) ) ) <-> ( iota_ x e. B ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) = ( U ` S ) ) )
19	10, 11, 18	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( A. y e. S ( U ` S ) .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ ( U ` S ) ) ) <-> ( iota_ x e. B ( A. y e. S x .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ x ) ) ) = ( U ` S ) ) )
20	9, 19	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( A. y e. S ( U ` S ) .<_ y /\ A. z e. B ( A. y e. S z .<_ y -> z .<_ ( U ` S ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E!wreu 2914   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888   iota_crio 6610   Basecbs 15857   lecple 15948   glbcglb 16943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-glb 16975

This theorem is referenced by:  glble  17000  clatglb  17124