Theorem h2hva 27831

Description: The group (addition) operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
h2h.1	|- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
h2h.2	|- U e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
h2hva	|- +h = ( +v ` U )

Proof of Theorem h2hva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- ( +v ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) = ( +v ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
2	1	vafval 27458	. . 3 |- ( +v ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) = ( 1st ` ( 1st ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) )
3		opex 4932	. . . . 5 |- <. +h , .h >. e. _V
4		h2h.1	. . . . . . . 8 |- U = <. <. +h , .h >. , normh >.
5		h2h.2	. . . . . . . 8 |- U e. NrmCVec
6	4, 5	eqeltrri 2698	. . . . . . 7 |- <. <. +h , .h >. , normh >. e. NrmCVec
7		nvex 27466	. . . . . . 7 |- ( <. <. +h , .h >. , normh >. e. NrmCVec -> ( +h e. _V /\ .h e. _V /\ normh e. _V ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( +h e. _V /\ .h e. _V /\ normh e. _V )
9	8	simp3i 1072	. . . . 5 |- normh e. _V
10	3, 9	op1st 7176	. . . 4 |- ( 1st ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) = <. +h , .h >.
11	10	fveq2i 6194	. . 3 |- ( 1st ` ( 1st ` <. <. +h , .h >. , normh >. ) ) = ( 1st ` <. +h , .h >. )
12	8	simp1i 1070	. . . 4 |- +h e. _V
13	8	simp2i 1071	. . . 4 |- .h e. _V
14	12, 13	op1st 7176	. . 3 |- ( 1st ` <. +h , .h >. ) = +h
15	2, 11, 14	3eqtrri 2649	. 2 |- +h = ( +v ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
16	4	fveq2i 6194	. 2 |- ( +v ` U ) = ( +v ` <. <. +h , .h >. , normh >. )
17	15, 16	eqtr4i 2647	1 |- +h = ( +v ` U )

Syntax hints:   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   ` cfv 5888   1stc1st 7166   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   +h cva 27777   .h csm 27778   normhcno 27780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896  df-oprab 6654  df-1st 7168  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450

This theorem is referenced by:  h2hvs  27834  axhfvadd-zf  27839  axhvcom-zf  27840  axhvass-zf  27841  axhvaddid-zf  27843  axhvdistr1-zf  27847  axhvdistr2-zf  27848  axhis2-zf  27852  hhva  28023