Theorem iindif2 4589

Description: Indexed intersection of class difference. Generalization of half of theorem "De Morgan's laws" in [Enderton] p. 31. Use uniiun 4573 to recover Enderton's theorem. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
iindif2	|- ( A =/= (/) -> |^|_ x e. A ( B \ C ) = ( B \ U_ x e. A C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem iindif2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.28zv 4066	. . . 4 |- ( A =/= (/) -> ( A. x e. A ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> ( y e. B /\ A. x e. A -. y e. C ) ) )
2		eldif 3584	. . . . . 6 |- ( y e. ( B \ C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. C ) )
3	2	bicomi 214	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> y e. ( B \ C ) )
4	3	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. x e. A ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> A. x e. A y e. ( B \ C ) )
5		ralnex 2992	. . . . . 6 |- ( A. x e. A -. y e. C <-> -. E. x e. A y e. C )
6		eliun 4524	. . . . . 6 |- ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
7	5, 6	xchbinxr 325	. . . . 5 |- ( A. x e. A -. y e. C <-> -. y e. U_ x e. A C )
8	7	anbi2i 730	. . . 4 |- ( ( y e. B /\ A. x e. A -. y e. C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U_ x e. A C ) )
9	1, 4, 8	3bitr3g 302	. . 3 |- ( A =/= (/) -> ( A. x e. A y e. ( B \ C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U_ x e. A C ) ) )
10		vex 3203	. . . 4 |- y e. _V
11		eliin 4525	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A ( B \ C ) <-> A. x e. A y e. ( B \ C ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 |- ( y e. |^|_ x e. A ( B \ C ) <-> A. x e. A y e. ( B \ C ) )
13		eldif 3584	. . 3 |- ( y e. ( B \ U_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U_ x e. A C ) )
14	9, 12, 13	3bitr4g 303	. 2 |- ( A =/= (/) -> ( y e. |^|_ x e. A ( B \ C ) <-> y e. ( B \ U_ x e. A C ) ) )
15	14	eqrdv 2620	1 |- ( A =/= (/) -> |^|_ x e. A ( B \ C ) = ( B \ U_ x e. A C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-nul 3916  df-iun 4522  df-iin 4523

This theorem is referenced by:  iinvdif  4592  iincld  20843  clsval2  20854  mretopd  20896  hauscmplem  21209  cmpfi  21211  sigapildsyslem  30224  saliincl  40545