Theorem saliincl 40545

Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
saliincl.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
saliincl.kct	|- ( ph -> K ~<_ om )
saliincl.kn0	|- ( ph -> K =/= (/) )
saliincl.e	|- ( ( ph /\ k e. K ) -> E e. S )

Assertion

Ref	Expression
saliincl	|- ( ph -> |^|_ k e. K E e. S )

Distinct variable groups:   k, K   S, k   ph, k

Allowed substitution hint:   E( k)

Proof of Theorem saliincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saliincl.e	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. K ) -> E e. S )
2		elssuni 4467	. . . . . . . 8 |- ( E e. S -> E C_ U. S )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. K ) -> E C_ U. S )
4		df-ss 3588	. . . . . . 7 |- ( E C_ U. S <-> ( E i^i U. S ) = E )
5	3, 4	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. K ) -> ( E i^i U. S ) = E )
6	5	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. K ) -> E = ( E i^i U. S ) )
7		incom 3805	. . . . . 6 |- ( E i^i U. S ) = ( U. S i^i E )
8	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. K ) -> ( E i^i U. S ) = ( U. S i^i E ) )
9		dfin4 3867	. . . . . 6 |- ( U. S i^i E ) = ( U. S \ ( U. S \ E ) )
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. K ) -> ( U. S i^i E ) = ( U. S \ ( U. S \ E ) ) )
11	6, 8, 10	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. K ) -> E = ( U. S \ ( U. S \ E ) ) )
12	11	iineq2dv 4543	. . 3 |- ( ph -> |^|_ k e. K E = |^|_ k e. K ( U. S \ ( U. S \ E ) ) )
13		saliincl.kn0	. . . 4 |- ( ph -> K =/= (/) )
14		iindif2 4589	. . . 4 |- ( K =/= (/) -> |^|_ k e. K ( U. S \ ( U. S \ E ) ) = ( U. S \ U_ k e. K ( U. S \ E ) ) )
15	13, 14	syl 17	. . 3 |- ( ph -> |^|_ k e. K ( U. S \ ( U. S \ E ) ) = ( U. S \ U_ k e. K ( U. S \ E ) ) )
16	12, 15	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> |^|_ k e. K E = ( U. S \ U_ k e. K ( U. S \ E ) ) )
17		saliincl.s	. . 3 |- ( ph -> S e. SAlg )
18		saliincl.kct	. . . 4 |- ( ph -> K ~<_ om )
19	17	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. K ) -> S e. SAlg )
20		saldifcl 40539	. . . . 5 |- ( ( S e. SAlg /\ E e. S ) -> ( U. S \ E ) e. S )
21	19, 1, 20	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. K ) -> ( U. S \ E ) e. S )
22	17, 18, 21	saliuncl 40542	. . 3 |- ( ph -> U_ k e. K ( U. S \ E ) e. S )
23		saldifcl 40539	. . 3 |- ( ( S e. SAlg /\ U_ k e. K ( U. S \ E ) e. S ) -> ( U. S \ U_ k e. K ( U. S \ E ) ) e. S )
24	17, 22, 23	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( U. S \ U_ k e. K ( U. S \ E ) ) e. S )
25	16, 24	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> |^|_ k e. K E e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~<_ cdom 7953  SAlgcsalg 40528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-card 8765  df-acn 8768  df-salg 40529

This theorem is referenced by:  iocborel  40574  hoimbllem  40844  iccvonmbllem  40892  salpreimagtge  40934  salpreimaltle  40935  smflimlem1  40979  smfsuplem1  41017