Theorem iincld 20843

Description: The indexed intersection of a collection B ( x ) of closed sets is closed. Theorem 6.1(2) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iincld	|- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> |^|_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, J

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem iincld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
2	1	cldss 20833	. . . . . . 7 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> B C_ U. J )
3		dfss4 3858	. . . . . . 7 |- ( B C_ U. J <-> ( U. J \ ( U. J \ B ) ) = B )
4	2, 3	sylib 208	. . . . . 6 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ ( U. J \ B ) ) = B )
5	4	ralimi 2952	. . . . 5 |- ( A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) -> A. x e. A ( U. J \ ( U. J \ B ) ) = B )
6		iineq2 4538	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( U. J \ ( U. J \ B ) ) = B -> |^|_ x e. A ( U. J \ ( U. J \ B ) ) = |^|_ x e. A B )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) -> |^|_ x e. A ( U. J \ ( U. J \ B ) ) = |^|_ x e. A B )
8	7	adantl 482	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> |^|_ x e. A ( U. J \ ( U. J \ B ) ) = |^|_ x e. A B )
9		iindif2 4589	. . . 4 |- ( A =/= (/) -> |^|_ x e. A ( U. J \ ( U. J \ B ) ) = ( U. J \ U_ x e. A ( U. J \ B ) ) )
10	9	adantr 481	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> |^|_ x e. A ( U. J \ ( U. J \ B ) ) = ( U. J \ U_ x e. A ( U. J \ B ) ) )
11	8, 10	eqtr3d 2658	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> |^|_ x e. A B = ( U. J \ U_ x e. A ( U. J \ B ) ) )
12		r19.2z 4060	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> E. x e. A B e. ( Clsd ` J ) )
13		cldrcl 20830	. . . . 5 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )
14	13	rexlimivw 3029	. . . 4 |- ( E. x e. A B e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )
15	12, 14	syl 17	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> J e. Top )
16	1	cldopn 20835	. . . . . 6 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ B ) e. J )
17	16	ralimi 2952	. . . . 5 |- ( A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) -> A. x e. A ( U. J \ B ) e. J )
18	17	adantl 482	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> A. x e. A ( U. J \ B ) e. J )
19		iunopn 20703	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A. x e. A ( U. J \ B ) e. J ) -> U_ x e. A ( U. J \ B ) e. J )
20	15, 18, 19	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> U_ x e. A ( U. J \ B ) e. J )
21	1	opncld 20837	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ U_ x e. A ( U. J \ B ) e. J ) -> ( U. J \ U_ x e. A ( U. J \ B ) ) e. ( Clsd ` J ) )
22	15, 20, 21	syl2anc 693	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ U_ x e. A ( U. J \ B ) ) e. ( Clsd ` J ) )
23	11, 22	eqeltrd 2701	1 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A B e. ( Clsd ` J ) ) -> |^|_ x e. A B e. ( Clsd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   ` cfv 5888   Topctop 20698   Clsdccld 20820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-top 20699  df-cld 20823

This theorem is referenced by:  intcld  20844  riincld  20848  hauscmplem  21209  ubthlem1  27726