Theorem sigapildsyslem 30224

Description: Lemma for sigapildsys 30225. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	|- P = { s e. ~P ~P O | ( fi ` s ) C_ s }
dynkin.l	|- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }
sigapildsyslem.n	|- F/ n ph
sigapildsyslem.1	|- ( ph -> t e. ( P i^i L ) )
sigapildsyslem.2	|- ( ph -> A e. t )
sigapildsyslem.3	|- ( ph -> N e. Fin )
sigapildsyslem.4	|- ( ( ph /\ n e. N ) -> B e. t )

Assertion

Ref	Expression
sigapildsyslem	|- ( ph -> ( A \ U_ n e. N B ) e. t )

Distinct variable groups:   n, s, t, x, y   n, L, t, x, y   O, s, t, x   P, n, t, x, y   A, n   x, B   n, N, x

Allowed substitution hints:   ph( x, y, t, n, s)   A( x, y, t, s)   B( y, t, n, s)   P( s)   L( s)   N( y, t, s)   O( y, n)

Proof of Theorem sigapildsyslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 4534	. . . . . . 7 |- ( N = (/) -> U_ n e. N B = U_ n e. (/) B )
2		0iun 4577	. . . . . . 7 |- U_ n e. (/) B = (/)
3	1, 2	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( N = (/) -> U_ n e. N B = (/) )
4	3	difeq2d 3728	. . . . 5 |- ( N = (/) -> ( A \ U_ n e. N B ) = ( A \ (/) ) )
5		dif0 3950	. . . . 5 |- ( A \ (/) ) = A
6	4, 5	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( N = (/) -> ( A \ U_ n e. N B ) = A )
7	6	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> ( A \ U_ n e. N B ) = A )
8		sigapildsyslem.2	. . . 4 |- ( ph -> A e. t )
9	8	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> A e. t )
10	7, 9	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ph /\ N = (/) ) -> ( A \ U_ n e. N B ) e. t )
11		iindif2 4589	. . . 4 |- ( N =/= (/) -> |^|_ n e. N ( A \ B ) = ( A \ U_ n e. N B ) )
12	11	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> |^|_ n e. N ( A \ B ) = ( A \ U_ n e. N B ) )
13		sigapildsyslem.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> t e. ( P i^i L ) )
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> t e. ( P i^i L ) )
15	14	elin1d 3802	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> t e. P )
16		dynkin.p	. . . . . . 7 |- P = { s e. ~P ~P O | ( fi ` s ) C_ s }
17	16	ispisys 30215	. . . . . 6 |- ( t e. P <-> ( t e. ~P ~P O /\ ( fi ` t ) C_ t ) )
18	15, 17	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> ( t e. ~P ~P O /\ ( fi ` t ) C_ t ) )
19	18	simprd 479	. . . 4 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> ( fi ` t ) C_ t )
20		sigapildsyslem.n	. . . . . . 7 |- F/ n ph
21		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ n N =/= (/)
22	20, 21	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ n ( ph /\ N =/= (/) )
23	18	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> t e. ~P ~P O )
24	23	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> t C_ ~P O )
25	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> A e. t )
26	24, 25	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> A e. ~P O )
27	26	elpwid 4170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> A C_ O )
28	27	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N =/= (/) ) /\ n e. N ) -> A C_ O )
29		difin2 3890	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ O -> ( A \ B ) = ( ( O \ B ) i^i A ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ N =/= (/) ) /\ n e. N ) -> ( A \ B ) = ( ( O \ B ) i^i A ) )
31	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N =/= (/) ) /\ n e. N ) -> ( fi ` t ) C_ t )
32	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N =/= (/) ) /\ n e. N ) -> t e. ( P i^i L ) )
33	14	elin2d 3803	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> t e. L )
34		dynkin.l	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }
35	34	isldsys 30219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. L <-> ( t e. ~P ~P O /\ ( (/) e. t /\ A. x e. t ( O \ x ) e. t /\ A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) ) ) )
36	33, 35	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> ( t e. ~P ~P O /\ ( (/) e. t /\ A. x e. t ( O \ x ) e. t /\ A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) ) ) )
37	36	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> ( (/) e. t /\ A. x e. t ( O \ x ) e. t /\ A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) ) )
38	37	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> A. x e. t ( O \ x ) e. t )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ N =/= (/) ) /\ n e. N ) -> A. x e. t ( O \ x ) e. t )
40		sigapildsyslem.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. N ) -> B e. t )
41	40	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ N =/= (/) ) /\ n e. N ) -> B e. t )
42		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( O \ B ) e. t
43		difeq2 3722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> ( O \ x ) = ( O \ B ) )
44	43	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = B -> ( ( O \ x ) e. t <-> ( O \ B ) e. t ) )
45	42, 44	rspc 3303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. t -> ( A. x e. t ( O \ x ) e. t -> ( O \ B ) e. t ) )
46	41, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ N =/= (/) ) /\ n e. N ) -> ( A. x e. t ( O \ x ) e. t -> ( O \ B ) e. t ) )
47	39, 46	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N =/= (/) ) /\ n e. N ) -> ( O \ B ) e. t )
48	25	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ N =/= (/) ) /\ n e. N ) -> A e. t )
49		inelfi 8324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. ( P i^i L ) /\ ( O \ B ) e. t /\ A e. t ) -> ( ( O \ B ) i^i A ) e. ( fi ` t ) )
50	32, 47, 48, 49	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ N =/= (/) ) /\ n e. N ) -> ( ( O \ B ) i^i A ) e. ( fi ` t ) )
51	31, 50	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ N =/= (/) ) /\ n e. N ) -> ( ( O \ B ) i^i A ) e. t )
52	30, 51	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ N =/= (/) ) /\ n e. N ) -> ( A \ B ) e. t )
53	52	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> ( n e. N -> ( A \ B ) e. t ) )
54	22, 53	ralrimi 2957	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> A. n e. N ( A \ B ) e. t )
55		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> N =/= (/) )
56		sigapildsyslem.3	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. Fin )
57	56	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> N e. Fin )
58		vex 3203	. . . . . 6 |- t e. _V
59		iinfi 8323	. . . . . 6 |- ( ( t e. _V /\ ( A. n e. N ( A \ B ) e. t /\ N =/= (/) /\ N e. Fin ) ) -> |^|_ n e. N ( A \ B ) e. ( fi ` t ) )
60	58, 59	mpan 706	. . . . 5 |- ( ( A. n e. N ( A \ B ) e. t /\ N =/= (/) /\ N e. Fin ) -> |^|_ n e. N ( A \ B ) e. ( fi ` t ) )
61	54, 55, 57, 60	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> |^|_ n e. N ( A \ B ) e. ( fi ` t ) )
62	19, 61	sseldd 3604	. . 3 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> |^|_ n e. N ( A \ B ) e. t )
63	12, 62	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ( ph /\ N =/= (/) ) -> ( A \ U_ n e. N B ) e. t )
64	10, 63	pm2.61dane 2881	1 |- ( ph -> ( A \ U_ n e. N B ) e. t )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   ficfi 8316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317

This theorem is referenced by:  sigapildsys  30225