Theorem imaiun1 37943

Description: The image of an indexed union is the indexed union of the images. (Contributed by RP, 29-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
imaiun1	|- ( U_ x e. A B " C ) = U_ x e. A ( B " C )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem imaiun1

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4 3225	. . . 4 |- ( E. x e. A E. z ( z e. C /\ <. z , y >. e. B ) <-> E. z E. x e. A ( z e. C /\ <. z , y >. e. B ) )
2		vex 3203	. . . . . 6 |- y e. _V
3	2	elima3 5473	. . . . 5 |- ( y e. ( B " C ) <-> E. z ( z e. C /\ <. z , y >. e. B ) )
4	3	rexbii 3041	. . . 4 |- ( E. x e. A y e. ( B " C ) <-> E. x e. A E. z ( z e. C /\ <. z , y >. e. B ) )
5		eliun 4524	. . . . . . 7 |- ( <. z , y >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A <. z , y >. e. B )
6	5	anbi2i 730	. . . . . 6 |- ( ( z e. C /\ <. z , y >. e. U_ x e. A B ) <-> ( z e. C /\ E. x e. A <. z , y >. e. B ) )
7		r19.42v 3092	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( z e. C /\ <. z , y >. e. B ) <-> ( z e. C /\ E. x e. A <. z , y >. e. B ) )
8	6, 7	bitr4i 267	. . . . 5 |- ( ( z e. C /\ <. z , y >. e. U_ x e. A B ) <-> E. x e. A ( z e. C /\ <. z , y >. e. B ) )
9	8	exbii 1774	. . . 4 |- ( E. z ( z e. C /\ <. z , y >. e. U_ x e. A B ) <-> E. z E. x e. A ( z e. C /\ <. z , y >. e. B ) )
10	1, 4, 9	3bitr4ri 293	. . 3 |- ( E. z ( z e. C /\ <. z , y >. e. U_ x e. A B ) <-> E. x e. A y e. ( B " C ) )
11	2	elima3 5473	. . 3 |- ( y e. ( U_ x e. A B " C ) <-> E. z ( z e. C /\ <. z , y >. e. U_ x e. A B ) )
12		eliun 4524	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A ( B " C ) <-> E. x e. A y e. ( B " C ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 292	. 2 |- ( y e. ( U_ x e. A B " C ) <-> y e. U_ x e. A ( B " C ) )
14	13	eqriv 2619	1 |- ( U_ x e. A B " C ) = U_ x e. A ( B " C )

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   <.cop 4183   U_ciun 4520   "cima 5117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127

This theorem is referenced by:  trclimalb2  38018