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Theorem trclimalb2 38018
Description: Lower bound for image under a transitive closure. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
trclimalb2 |- ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( ( t+ ` R ) " A ) C_ B )
Proof of Theorem trclimalb2
Dummy variables x k y r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3212 . . . 4 |- ( R e. V -> R e. _V )
21adantr 481 . . 3 |- ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> R e. _V )
3 oveq1 6657 . . . . . . 7 |- ( r = R -> ( r ^r k ) = ( R ^r k ) )
43iuneq2d 4547 . . . . . 6 |- ( r = R -> U_ k e. NN ( r ^r k ) = U_ k e. NN ( R ^r k ) )
5 dftrcl3 38012 . . . . . 6 |- t+ = ( r e. _V |-> U_ k e. NN ( r ^r k ) )
6 nnex 11026 . . . . . . 7 |- NN e. _V
7 ovex 6678 . . . . . . 7 |- ( R ^r k ) e. _V
86, 7iunex 7147 . . . . . 6 |- U_ k e. NN ( R ^r k ) e. _V
94, 5, 8fvmpt 6282 . . . . 5 |- ( R e. _V -> ( t+ ` R ) = U_ k e. NN ( R ^r k ) )
109imaeq1d 5465 . . . 4 |- ( R e. _V -> ( ( t+ ` R ) " A ) = ( U_ k e. NN ( R ^r k ) " A ) )
11 imaiun1 37943 . . . 4 |- ( U_ k e. NN ( R ^r k ) " A ) = U_ k e. NN ( ( R ^r k ) " A )
1210, 11syl6eq 2672 . . 3 |- ( R e. _V -> ( ( t+ ` R ) " A ) = U_ k e. NN ( ( R ^r k ) " A ) )
132, 12syl 17 . 2 |- ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( ( t+ ` R ) " A ) = U_ k e. NN ( ( R ^r k ) " A ) )
14 oveq2 6658 . . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( R ^r x ) = ( R ^r 1 ) )
1514imaeq1d 5465 . . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( ( R ^r x ) " A ) = ( ( R ^r 1 ) " A ) )
1615sseq1d 3632 . . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( ( ( R ^r x ) " A ) C_ B <-> ( ( R ^r 1 ) " A ) C_ B ) )
1716imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( ( R ^r x ) " A ) C_ B ) <-> ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( ( R ^r 1 ) " A ) C_ B ) ) )
18 oveq2 6658 . . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( R ^r x ) = ( R ^r y ) )
1918imaeq1d 5465 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( R ^r x ) " A ) = ( ( R ^r y ) " A ) )
2019sseq1d 3632 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ( R ^r x ) " A ) C_ B <-> ( ( R ^r y ) " A ) C_ B ) )
2120imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( ( R ^r x ) " A ) C_ B ) <-> ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( ( R ^r y ) " A ) C_ B ) ) )
22 oveq2 6658 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( R ^r x ) = ( R ^r ( y + 1 ) ) )
2322imaeq1d 5465 . . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( R ^r x ) " A ) = ( ( R ^r ( y + 1 ) ) " A ) )
2423sseq1d 3632 . . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( R ^r x ) " A ) C_ B <-> ( ( R ^r ( y + 1 ) ) " A ) C_ B ) )
2524imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( ( R ^r x ) " A ) C_ B ) <-> ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( ( R ^r ( y + 1 ) ) " A ) C_ B ) ) )
26 oveq2 6658 . . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( R ^r x ) = ( R ^r k ) )
2726imaeq1d 5465 . . . . . . . 8 |- ( x = k -> ( ( R ^r x ) " A ) = ( ( R ^r k ) " A ) )
2827sseq1d 3632 . . . . . . 7 |- ( x = k -> ( ( ( R ^r x ) " A ) C_ B <-> ( ( R ^r k ) " A ) C_ B ) )
2928imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( x = k -> ( ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( ( R ^r x ) " A ) C_ B ) <-> ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( ( R ^r k ) " A ) C_ B ) ) )
30 relexp1g 13766 . . . . . . . . 9 |- ( R e. V -> ( R ^r 1 ) = R )
3130imaeq1d 5465 . . . . . . . 8 |- ( R e. V -> ( ( R ^r 1 ) " A ) = ( R " A ) )
3231adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( ( R ^r 1 ) " A ) = ( R " A ) )
33 ssun1 3776 . . . . . . . . 9 |- A C_ ( A u. B )
34 imass2 5501 . . . . . . . . 9 |- ( A C_ ( A u. B ) -> ( R " A ) C_ ( R " ( A u. B ) ) )
3533, 34mp1i 13 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( R " A ) C_ ( R " ( A u. B ) ) )
36 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( R " ( A u. B ) ) C_ B )
3735, 36sstrd 3613 . . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( R " A ) C_ B )
3832, 37eqsstrd 3639 . . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( ( R ^r 1 ) " A ) C_ B )
39 simp2l 1087 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) /\ ( ( R ^r y ) " A ) C_ B ) -> R e. V )
40 simp1 1061 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) /\ ( ( R ^r y ) " A ) C_ B ) -> y e. NN )
41 relexpsucnnl 13772 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. V /\ y e. NN ) -> ( R ^r ( y + 1 ) ) = ( R o. ( R ^r y ) ) )
4241imaeq1d 5465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. V /\ y e. NN ) -> ( ( R ^r ( y + 1 ) ) " A ) = ( ( R o. ( R ^r y ) ) " A ) )
43 imaco 5640 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R o. ( R ^r y ) ) " A ) = ( R " ( ( R ^r y ) " A ) )
4442, 43syl6eq 2672 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ y e. NN ) -> ( ( R ^r ( y + 1 ) ) " A ) = ( R " ( ( R ^r y ) " A ) ) )
4539, 40, 44syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) /\ ( ( R ^r y ) " A ) C_ B ) -> ( ( R ^r ( y + 1 ) ) " A ) = ( R " ( ( R ^r y ) " A ) ) )
46 imass2 5501 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R ^r y ) " A ) C_ B -> ( R " ( ( R ^r y ) " A ) ) C_ ( R " B ) )
47463ad2ant3 1084 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) /\ ( ( R ^r y ) " A ) C_ B ) -> ( R " ( ( R ^r y ) " A ) ) C_ ( R " B ) )
48 ssun2 3777 . . . . . . . . . . . 12 |- B C_ ( A u. B )
49 imass2 5501 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B C_ ( A u. B ) -> ( R " B ) C_ ( R " ( A u. B ) ) )
5048, 49mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) /\ ( ( R ^r y ) " A ) C_ B ) -> ( R " B ) C_ ( R " ( A u. B ) ) )
51 simp2r 1088 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) /\ ( ( R ^r y ) " A ) C_ B ) -> ( R " ( A u. B ) ) C_ B )
5250, 51sstrd 3613 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) /\ ( ( R ^r y ) " A ) C_ B ) -> ( R " B ) C_ B )
5347, 52sstrd 3613 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) /\ ( ( R ^r y ) " A ) C_ B ) -> ( R " ( ( R ^r y ) " A ) ) C_ B )
5445, 53eqsstrd 3639 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) /\ ( ( R ^r y ) " A ) C_ B ) -> ( ( R ^r ( y + 1 ) ) " A ) C_ B )
55543exp 1264 . . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( ( ( R ^r y ) " A ) C_ B -> ( ( R ^r ( y + 1 ) ) " A ) C_ B ) ) )
5655a2d 29 . . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( ( R ^r y ) " A ) C_ B ) -> ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( ( R ^r ( y + 1 ) ) " A ) C_ B ) ) )
5717, 21, 25, 29, 38, 56nnind 11038 . . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( ( R ^r k ) " A ) C_ B ) )
5857com12 32 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( k e. NN -> ( ( R ^r k ) " A ) C_ B ) )
5958ralrimiv 2965 . . 3 |- ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> A. k e. NN ( ( R ^r k ) " A ) C_ B )
60 iunss 4561 . . 3 |- ( U_ k e. NN ( ( R ^r k ) " A ) C_ B <-> A. k e. NN ( ( R ^r k ) " A ) C_ B )
6159, 60sylibr 224 . 2 |- ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> U_ k e. NN ( ( R ^r k ) " A ) C_ B )
6213, 61eqsstrd 3639 1 |- ( ( R e. V /\ ( R " ( A u. B ) ) C_ B ) -> ( ( t+ ` R ) " A ) C_ B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   U_ciun 4520   "cima 5117   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   t+ctcl 13724   ^r crelexp 13760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-trcl 13726  df-relexp 13761
This theorem is referenced by:  brtrclfv2  38019  frege77d  38038
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