Theorem isassa 19315

Description: The properties of an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isassa.v	|- V = ( Base ` W )
isassa.f	|- F = (Scalar ` W )
isassa.b	|- B = ( Base ` F )
isassa.s	|- .x. = ( .s ` W )
isassa.t	|- .X. = ( .r ` W )

Assertion

Ref	Expression
isassa	|- ( W e. AssAlg <-> ( ( W e. LMod /\ W e. Ring /\ F e. CRing ) /\ A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, r, y   B, r   F, r   V, r, x, y   .x. , r, x, y   .X. , r, x, y   W, r, x, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem isassa

Dummy variables f w s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6203	. . . 4 |- ( w = W -> (Scalar ` w ) e. _V )
2		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( w = W -> (Scalar ` w ) = (Scalar ` W ) )
3		isassa.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
4	2, 3	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( w = W -> (Scalar ` w ) = F )
5		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( w = W /\ f = F ) -> f = F )
6	5	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( ( w = W /\ f = F ) -> ( f e. CRing <-> F e. CRing ) )
7	5	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( w = W /\ f = F ) -> ( Base ` f ) = ( Base ` F ) )
8		isassa.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` F )
9	7, 8	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( ( w = W /\ f = F ) -> ( Base ` f ) = B )
10		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( Base ` w ) = ( Base ` W ) )
11		isassa.v	. . . . . . . . 9 |- V = ( Base ` W )
12	10, 11	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( Base ` w ) = V )
13		fvexd 6203	. . . . . . . . . 10 |- ( w = W -> ( .s ` w ) e. _V )
14		fvexd 6203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) -> ( .r ` w ) e. _V )
15		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> t = ( .r ` w ) )
16		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = W -> ( .r ` w ) = ( .r ` W ) )
17	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> ( .r ` w ) = ( .r ` W ) )
18		isassa.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- .X. = ( .r ` W )
19	17, 18	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> ( .r ` w ) = .X. )
20	15, 19	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> t = .X. )
21		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> s = ( .s ` w ) )
22		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = W -> ( .s ` w ) = ( .s ` W ) )
23	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> ( .s ` w ) = ( .s ` W ) )
24		isassa.s	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- .x. = ( .s ` W )
25	23, 24	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> ( .s ` w ) = .x. )
26	21, 25	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> s = .x. )
27	26	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> ( r s x ) = ( r .x. x ) )
28		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> y = y )
29	20, 27, 28	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> ( ( r s x ) t y ) = ( ( r .x. x ) .X. y ) )
30		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> r = r )
31	20	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> ( x t y ) = ( x .X. y ) )
32	26, 30, 31	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> ( r s ( x t y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) )
33	29, 32	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) <-> ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) )
34		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> x = x )
35	26	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> ( r s y ) = ( r .x. y ) )
36	20, 34, 35	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> ( x t ( r s y ) ) = ( x .X. ( r .x. y ) ) )
37	36, 32	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> ( ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) <-> ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) )
38	33, 37	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) /\ t = ( .r ` w ) ) -> ( ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
39	14, 38	sbcied 3472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = W /\ s = ( .s ` w ) ) -> ( [. ( .r ` w ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
40	13, 39	sbcied 3472	. . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( [. ( .s ` w ) / s ]. [. ( .r ` w ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
41	12, 40	raleqbidv 3152	. . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( A. y e. ( Base ` w ) [. ( .s ` w ) / s ]. [. ( .r ` w ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
42	12, 41	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( A. x e. ( Base ` w ) A. y e. ( Base ` w ) [. ( .s ` w ) / s ]. [. ( .r ` w ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
43	42	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( w = W /\ f = F ) -> ( A. x e. ( Base ` w ) A. y e. ( Base ` w ) [. ( .s ` w ) / s ]. [. ( .r ` w ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
44	9, 43	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( ( w = W /\ f = F ) -> ( A. r e. ( Base ` f ) A. x e. ( Base ` w ) A. y e. ( Base ` w ) [. ( .s ` w ) / s ]. [. ( .r ` w ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) <-> A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
45	6, 44	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ( w = W /\ f = F ) -> ( ( f e. CRing /\ A. r e. ( Base ` f ) A. x e. ( Base ` w ) A. y e. ( Base ` w ) [. ( .s ` w ) / s ]. [. ( .r ` w ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) ) <-> ( F e. CRing /\ A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) ) )
46	1, 4, 45	sbcied2 3473	. . 3 |- ( w = W -> ( [. (Scalar ` w ) / f ]. ( f e. CRing /\ A. r e. ( Base ` f ) A. x e. ( Base ` w ) A. y e. ( Base ` w ) [. ( .s ` w ) / s ]. [. ( .r ` w ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) ) <-> ( F e. CRing /\ A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) ) )
47		df-assa 19312	. . 3 |- AssAlg = { w e. ( LMod i^i Ring ) | [. (Scalar ` w ) / f ]. ( f e. CRing /\ A. r e. ( Base ` f ) A. x e. ( Base ` w ) A. y e. ( Base ` w ) [. ( .s ` w ) / s ]. [. ( .r ` w ) / t ]. ( ( ( r s x ) t y ) = ( r s ( x t y ) ) /\ ( x t ( r s y ) ) = ( r s ( x t y ) ) ) ) }
48	46, 47	elrab2 3366	. 2 |- ( W e. AssAlg <-> ( W e. ( LMod i^i Ring ) /\ ( F e. CRing /\ A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) ) )
49		anass 681	. 2 |- ( ( ( W e. ( LMod i^i Ring ) /\ F e. CRing ) /\ A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) <-> ( W e. ( LMod i^i Ring ) /\ ( F e. CRing /\ A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) ) )
50		elin 3796	. . . . 5 |- ( W e. ( LMod i^i Ring ) <-> ( W e. LMod /\ W e. Ring ) )
51	50	anbi1i 731	. . . 4 |- ( ( W e. ( LMod i^i Ring ) /\ F e. CRing ) <-> ( ( W e. LMod /\ W e. Ring ) /\ F e. CRing ) )
52		df-3an 1039	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ W e. Ring /\ F e. CRing ) <-> ( ( W e. LMod /\ W e. Ring ) /\ F e. CRing ) )
53	51, 52	bitr4i 267	. . 3 |- ( ( W e. ( LMod i^i Ring ) /\ F e. CRing ) <-> ( W e. LMod /\ W e. Ring /\ F e. CRing ) )
54	53	anbi1i 731	. 2 |- ( ( ( W e. ( LMod i^i Ring ) /\ F e. CRing ) /\ A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) <-> ( ( W e. LMod /\ W e. Ring /\ F e. CRing ) /\ A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )
55	48, 49, 54	3bitr2i 288	1 |- ( W e. AssAlg <-> ( ( W e. LMod /\ W e. Ring /\ F e. CRing ) /\ A. r e. B A. x e. V A. y e. V ( ( ( r .x. x ) .X. y ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) /\ ( x .X. ( r .x. y ) ) = ( r .x. ( x .X. y ) ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   i^i cin 3573   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   LModclmod 18863  AssAlgcasa 19309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-assa 19312

This theorem is referenced by:  assalem  19316  assalmod  19319  assaring  19320  assasca  19321  isassad  19323  assapropd  19327