Theorem assapropd 19327

Description: If two structures have the same components (properties), one is an associative algebra iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
assapropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
assapropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
assapropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
assapropd.4	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
assapropd.5	|- ( ph -> F = (Scalar ` K ) )
assapropd.6	|- ( ph -> F = (Scalar ` L ) )
assapropd.7	|- P = ( Base ` F )
assapropd.8	|- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
assapropd	|- ( ph -> ( K e. AssAlg <-> L e. AssAlg ) )

Distinct variable groups:   x, y, K   x, L, y   x, P, y   ph, x, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem assapropd

Dummy variables w r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		assalmod 19319	. . . 4 |- ( K e. AssAlg -> K e. LMod )
2		assaring 19320	. . . 4 |- ( K e. AssAlg -> K e. Ring )
3	1, 2	jca 554	. . 3 |- ( K e. AssAlg -> ( K e. LMod /\ K e. Ring ) )
4	3	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( K e. AssAlg -> ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) )
5		assalmod 19319	. . . 4 |- ( L e. AssAlg -> L e. LMod )
6		assapropd.1	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
7		assapropd.2	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
8		assapropd.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
9		assapropd.5	. . . . 5 |- ( ph -> F = (Scalar ` K ) )
10		assapropd.6	. . . . 5 |- ( ph -> F = (Scalar ` L ) )
11		assapropd.7	. . . . 5 |- P = ( Base ` F )
12		assapropd.8	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )
13	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	lmodpropd 18926	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. LMod <-> L e. LMod ) )
14	5, 13	syl5ibr 236	. . 3 |- ( ph -> ( L e. AssAlg -> K e. LMod ) )
15		assaring 19320	. . . 4 |- ( L e. AssAlg -> L e. Ring )
16		assapropd.4	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` K ) y ) = ( x ( .r ` L ) y ) )
17	6, 7, 8, 16	ringpropd 18582	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. Ring <-> L e. Ring ) )
18	15, 17	syl5ibr 236	. . 3 |- ( ph -> ( L e. AssAlg -> K e. Ring ) )
19	14, 18	jcad 555	. 2 |- ( ph -> ( L e. AssAlg -> ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) )
20	9, 10	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (Scalar ` K ) = (Scalar ` L ) )
21	20	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (Scalar ` K ) e. CRing <-> (Scalar ` L ) e. CRing ) )
22	13, 17, 21	3anbi123d 1399	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K e. LMod /\ K e. Ring /\ (Scalar ` K ) e. CRing ) <-> ( L e. LMod /\ L e. Ring /\ (Scalar ` L ) e. CRing ) ) )
23	22	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( ( K e. LMod /\ K e. Ring /\ (Scalar ` K ) e. CRing ) <-> ( L e. LMod /\ L e. Ring /\ (Scalar ` L ) e. CRing ) ) )
24		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ph )
25		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> K e. LMod )
26		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> r e. P )
27	9	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
28	11, 27	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
29	24, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> P = ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
30	26, 29	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> r e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
31		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> z e. B )
32	24, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> B = ( Base ` K ) )
33	31, 32	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> z e. ( Base ` K ) )
34		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
35		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (Scalar ` K ) = (Scalar ` K )
36		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( .s ` K ) = ( .s ` K )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` (Scalar ` K ) ) = ( Base ` (Scalar ` K ) )
38	34, 35, 36, 37	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. LMod /\ r e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> ( r ( .s ` K ) z ) e. ( Base ` K ) )
39	25, 30, 33, 38	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) z ) e. ( Base ` K ) )
40	39, 32	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) z ) e. B )
41		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> w e. B )
42	16	oveqrspc2v 6673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( r ( .s ` K ) z ) e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` L ) w ) )
43	24, 40, 41, 42	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` L ) w ) )
44	12	oveqrspc2v 6673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. P /\ z e. B ) ) -> ( r ( .s ` K ) z ) = ( r ( .s ` L ) z ) )
45	24, 26, 31, 44	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) z ) = ( r ( .s ` L ) z ) )
46	45	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) )
47	43, 46	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) )
48		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> K e. Ring )
49	41, 32	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> w e. ( Base ` K ) )
50		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( .r ` K ) = ( .r ` K )
51	34, 50	ringcl 18561	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Ring /\ z e. ( Base ` K ) /\ w e. ( Base ` K ) ) -> ( z ( .r ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
52	48, 33, 49, 51	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( z ( .r ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
53	52, 32	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( z ( .r ` K ) w ) e. B )
54	12	oveqrspc2v 6673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. P /\ ( z ( .r ` K ) w ) e. B ) ) -> ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` K ) w ) ) )
55	24, 26, 53, 54	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` K ) w ) ) )
56	16	oveqrspc2v 6673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( z ( .r ` K ) w ) = ( z ( .r ` L ) w ) )
57	24, 31, 41, 56	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( z ( .r ` K ) w ) = ( z ( .r ` L ) w ) )
58	57	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) )
59	55, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) )
60	47, 59	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) <-> ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) )
61	34, 35, 36, 37	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. LMod /\ r e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) /\ w e. ( Base ` K ) ) -> ( r ( .s ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
62	25, 30, 49, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) w ) e. ( Base ` K ) )
63	62, 32	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) w ) e. B )
64	16	oveqrspc2v 6673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( z e. B /\ ( r ( .s ` K ) w ) e. B ) ) -> ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` K ) w ) ) )
65	24, 31, 63, 64	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` K ) w ) ) )
66	12	oveqrspc2v 6673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. P /\ w e. B ) ) -> ( r ( .s ` K ) w ) = ( r ( .s ` L ) w ) )
67	24, 26, 41, 66	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( r ( .s ` K ) w ) = ( r ( .s ` L ) w ) )
68	67	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) )
69	65, 68	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) )
70	69, 59	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) <-> ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) )
71	60, 70	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ ( r e. P /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) ) -> ( ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) <-> ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
72	71	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ r e. P ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) <-> ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
73	72	2ralbidva 2988	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) /\ r e. P ) -> ( A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
74	73	ralbidva 2985	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( A. r e. P A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. r e. P A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
75	28	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> P = ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
76	6	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> B = ( Base ` K ) )
77	76	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( A. w e. B ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. w e. ( Base ` K ) ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
78	76, 77	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. z e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
79	75, 78	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( A. r e. P A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. r e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) A. z e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
80	10	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( Base ` (Scalar ` L ) ) )
81	11, 80	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` L ) ) )
82	81	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> P = ( Base ` (Scalar ` L ) ) )
83	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> B = ( Base ` L ) )
84	83	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( A. w e. B ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. w e. ( Base ` L ) ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
85	83, 84	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. z e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
86	82, 85	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( A. r e. P A. z e. B A. w e. B ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) <-> A. r e. ( Base ` (Scalar ` L ) ) A. z e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
87	74, 79, 86	3bitr3d 298	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( A. r e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) A. z e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) <-> A. r e. ( Base ` (Scalar ` L ) ) A. z e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
88	23, 87	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( ( ( K e. LMod /\ K e. Ring /\ (Scalar ` K ) e. CRing ) /\ A. r e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) A. z e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) ) <-> ( ( L e. LMod /\ L e. Ring /\ (Scalar ` L ) e. CRing ) /\ A. r e. ( Base ` (Scalar ` L ) ) A. z e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) ) )
89	34, 35, 37, 36, 50	isassa 19315	. . . 4 |- ( K e. AssAlg <-> ( ( K e. LMod /\ K e. Ring /\ (Scalar ` K ) e. CRing ) /\ A. r e. ( Base ` (Scalar ` K ) ) A. z e. ( Base ` K ) A. w e. ( Base ` K ) ( ( ( r ( .s ` K ) z ) ( .r ` K ) w ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) /\ ( z ( .r ` K ) ( r ( .s ` K ) w ) ) = ( r ( .s ` K ) ( z ( .r ` K ) w ) ) ) ) )
90		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
91		eqid 2622	. . . . 5 |- (Scalar ` L ) = (Scalar ` L )
92		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` L ) ) = ( Base ` (Scalar ` L ) )
93		eqid 2622	. . . . 5 |- ( .s ` L ) = ( .s ` L )
94		eqid 2622	. . . . 5 |- ( .r ` L ) = ( .r ` L )
95	90, 91, 92, 93, 94	isassa 19315	. . . 4 |- ( L e. AssAlg <-> ( ( L e. LMod /\ L e. Ring /\ (Scalar ` L ) e. CRing ) /\ A. r e. ( Base ` (Scalar ` L ) ) A. z e. ( Base ` L ) A. w e. ( Base ` L ) ( ( ( r ( .s ` L ) z ) ( .r ` L ) w ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) /\ ( z ( .r ` L ) ( r ( .s ` L ) w ) ) = ( r ( .s ` L ) ( z ( .r ` L ) w ) ) ) ) )
96	88, 89, 95	3bitr4g 303	. . 3 |- ( ( ph /\ ( K e. LMod /\ K e. Ring ) ) -> ( K e. AssAlg <-> L e. AssAlg ) )
97	96	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( ( K e. LMod /\ K e. Ring ) -> ( K e. AssAlg <-> L e. AssAlg ) ) )
98	4, 19, 97	pm5.21ndd 369	1 |- ( ph -> ( K e. AssAlg <-> L e. AssAlg ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   LModclmod 18863  AssAlgcasa 19309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-assa 19312

This theorem is referenced by:  opsrassa  19489