Theorem isdrs 16934

Description: Property of being a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrs.b	|- B = ( Base ` K )
isdrs.l	|- .<_ = ( le ` K )

Assertion

Ref	Expression
isdrs	|- ( K e. Dirset <-> ( K e. Preset /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) )

Distinct variable groups:   x, K, y, z   x, B, y, z   x, .<_ , y, z

Proof of Theorem isdrs

Dummy variables f b r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( f = K -> ( Base ` f ) = ( Base ` K ) )
2		isdrs.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` K )
3	1, 2	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( f = K -> ( Base ` f ) = B )
4		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( f = K -> ( le ` f ) = ( le ` K ) )
5		isdrs.l	. . . . . . 7 |- .<_ = ( le ` K )
6	4, 5	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( f = K -> ( le ` f ) = .<_ )
7	6	sbceq1d 3440	. . . . 5 |- ( f = K -> ( [. ( le ` f ) / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) <-> [. .<_ / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) ) )
8	3, 7	sbceqbid 3442	. . . 4 |- ( f = K -> ( [. ( Base ` f ) / b ]. [. ( le ` f ) / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) <-> [. B / b ]. [. .<_ / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) ) )
9		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( Base ` K ) e. _V
10	2, 9	eqeltri 2697	. . . . 5 |- B e. _V
11		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( le ` K ) e. _V
12	5, 11	eqeltri 2697	. . . . 5 |- .<_ e. _V
13		neeq1 2856	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( b =/= (/) <-> B =/= (/) ) )
14	13	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( b = B /\ r = .<_ ) -> ( b =/= (/) <-> B =/= (/) ) )
15		rexeq 3139	. . . . . . . . 9 |- ( b = B -> ( E. z e. b ( x r z /\ y r z ) <-> E. z e. B ( x r z /\ y r z ) ) )
16	15	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) <-> A. y e. B E. z e. B ( x r z /\ y r z ) ) )
17	16	raleqbi1dv 3146	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) <-> A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x r z /\ y r z ) ) )
18		breq 4655	. . . . . . . . . 10 |- ( r = .<_ -> ( x r z <-> x .<_ z ) )
19		breq 4655	. . . . . . . . . 10 |- ( r = .<_ -> ( y r z <-> y .<_ z ) )
20	18, 19	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( r = .<_ -> ( ( x r z /\ y r z ) <-> ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) )
21	20	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( r = .<_ -> ( E. z e. B ( x r z /\ y r z ) <-> E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) )
22	21	2ralbidv 2989	. . . . . . 7 |- ( r = .<_ -> ( A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x r z /\ y r z ) <-> A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) )
23	17, 22	sylan9bb 736	. . . . . 6 |- ( ( b = B /\ r = .<_ ) -> ( A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) <-> A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) )
24	14, 23	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( ( b = B /\ r = .<_ ) -> ( ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) <-> ( B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) ) )
25	10, 12, 24	sbc2ie 3505	. . . 4 |- ( [. B / b ]. [. .<_ / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) <-> ( B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) )
26	8, 25	syl6bb 276	. . 3 |- ( f = K -> ( [. ( Base ` f ) / b ]. [. ( le ` f ) / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) <-> ( B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) ) )
27		df-drs 16929	. . 3 |- Dirset = { f e. Preset | [. ( Base ` f ) / b ]. [. ( le ` f ) / r ]. ( b =/= (/) /\ A. x e. b A. y e. b E. z e. b ( x r z /\ y r z ) ) }
28	26, 27	elrab2 3366	. 2 |- ( K e. Dirset <-> ( K e. Preset /\ ( B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) ) )
29		3anass 1042	. 2 |- ( ( K e. Preset /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) <-> ( K e. Preset /\ ( B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) ) )
30	28, 29	bitr4i 267	1 |- ( K e. Dirset <-> ( K e. Preset /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Preset cpreset 16926  Dirsetcdrs 16927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-drs 16929

This theorem is referenced by:  drsdir  16935  drsprs  16936  drsbn0  16937  isdrs2  16939  isipodrs  17161