Theorem isipodrs 17161

Description: Condition for a family of sets to be directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isipodrs	|- ( (toInc ` A ) e. Dirset <-> ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) )

Distinct variable group:   z, A, x, y

Proof of Theorem isipodrs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` (toInc ` A ) ) = ( Base ` (toInc ` A ) )
2	1	drsbn0 16937	. . . 4 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset -> ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) )
3	2	neneqd 2799	. . 3 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset -> -. ( Base ` (toInc ` A ) ) = (/) )
4		fvprc 6185	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> (toInc ` A ) = (/) )
5	4	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( Base ` (toInc ` A ) ) = ( Base ` (/) ) )
6		base0 15912	. . . 4 |- (/) = ( Base ` (/) )
7	5, 6	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( Base ` (toInc ` A ) ) = (/) )
8	3, 7	nsyl2 142	. 2 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset -> A e. _V )
9		simp1 1061	. 2 |- ( ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) -> A e. _V )
10		eqid 2622	. . . 4 |- ( le ` (toInc ` A ) ) = ( le ` (toInc ` A ) )
11	1, 10	isdrs 16934	. . 3 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset <-> ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) )
12		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (toInc ` A ) = (toInc ` A )
13	12	ipopos 17160	. . . . . . 7 |- (toInc ` A ) e. Poset
14		posprs 16949	. . . . . . 7 |- ( (toInc ` A ) e. Poset -> (toInc ` A ) e. Preset )
15	13, 14	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> (toInc ` A ) e. Preset )
16		id 22	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> A e. _V )
17	15, 16	2thd 255	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( (toInc ` A ) e. Preset <-> A e. _V ) )
18	12	ipobas 17155	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> A = ( Base ` (toInc ` A ) ) )
19		neeq1 2856	. . . . . . . 8 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( A =/= (/) <-> ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) ) )
20		rexeq 3139	. . . . . . . . . 10 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) )
21	20	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) )
22	21	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . 8 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) )
23	19, 22	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( A = ( Base ` (toInc ` A ) ) -> ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) ) )
24	18, 23	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) ) )
25		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> A e. _V )
26		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> x e. A )
27		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
28	12, 10	ipole 17158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. _V /\ x e. A /\ z e. A ) -> ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z <-> x C_ z ) )
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z <-> x C_ z ) )
30		simplrr 801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> y e. A )
31	12, 10	ipole 17158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. _V /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( y ( le ` (toInc ` A ) ) z <-> y C_ z ) )
32	25, 30, 27, 31	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( y ( le ` (toInc ` A ) ) z <-> y C_ z ) )
33	29, 32	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> ( x C_ z /\ y C_ z ) ) )
34		unss 3787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x C_ z /\ y C_ z ) <-> ( x u. y ) C_ z )
35	33, 34	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. A ) -> ( ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> ( x u. y ) C_ z ) )
36	35	rexbidva 3049	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) )
37	36	2ralbidva 2988	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) <-> A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) )
38	37	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
39	24, 38	bitr3d 270	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
40	17, 39	anbi12d 747	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) ) <-> ( A e. _V /\ ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) ) )
41		3anass 1042	. . . 4 |- ( ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) ) )
42		3anass 1042	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) <-> ( A e. _V /\ ( A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
43	40, 41, 42	3bitr4g 303	. . 3 |- ( A e. _V -> ( ( (toInc ` A ) e. Preset /\ ( Base ` (toInc ` A ) ) =/= (/) /\ A. x e. ( Base ` (toInc ` A ) ) A. y e. ( Base ` (toInc ` A ) ) E. z e. ( Base ` (toInc ` A ) ) ( x ( le ` (toInc ` A ) ) z /\ y ( le ` (toInc ` A ) ) z ) ) <-> ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
44	11, 43	syl5bb 272	. 2 |- ( A e. _V -> ( (toInc ` A ) e. Dirset <-> ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) ) )
45	8, 9, 44	pm5.21nii 368	1 |- ( (toInc ` A ) e. Dirset <-> ( A e. _V /\ A =/= (/) /\ A. x e. A A. y e. A E. z e. A ( x u. y ) C_ z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Preset cpreset 16926  Dirsetcdrs 16927   Posetcpo 16940  toInccipo 17151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ocomp 15963  df-preset 16928  df-drs 16929  df-poset 16946  df-ipo 17152

This theorem is referenced by:  ipodrscl  17162  fpwipodrs  17164  ipodrsima  17165  nacsfix  37275