Theorem isdrs2 16939

Description: Directed sets may be defined in terms of finite subsets. Again, without nonemptiness we would need to restrict to nonempty subsets here. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
drsbn0.b	|- B = ( Base ` K )
drsdirfi.l	|- .<_ = ( le ` K )

Assertion

Ref	Expression
isdrs2	|- ( K e. Dirset <-> ( K e. Preset /\ A. x e. ( ~P B i^i Fin ) E. y e. B A. z e. x z .<_ y ) )

Distinct variable groups:   x, K, y, z   x, B, y, z   x, .<_ , y, z

Proof of Theorem isdrs2

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drsprs 16936	. . 3 |- ( K e. Dirset -> K e. Preset )
2		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( K e. Dirset /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) -> K e. Dirset )
3		inss1 3833	. . . . . . . 8 |- ( ~P B i^i Fin ) C_ ~P B
4	3	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ~P B i^i Fin ) -> x e. ~P B )
5	4	elpwid 4170	. . . . . 6 |- ( x e. ( ~P B i^i Fin ) -> x C_ B )
6	5	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( K e. Dirset /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) -> x C_ B )
7		inss2 3834	. . . . . . 7 |- ( ~P B i^i Fin ) C_ Fin
8	7	sseli 3599	. . . . . 6 |- ( x e. ( ~P B i^i Fin ) -> x e. Fin )
9	8	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( K e. Dirset /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
10		drsbn0.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` K )
11		drsdirfi.l	. . . . . 6 |- .<_ = ( le ` K )
12	10, 11	drsdirfi 16938	. . . . 5 |- ( ( K e. Dirset /\ x C_ B /\ x e. Fin ) -> E. y e. B A. z e. x z .<_ y )
13	2, 6, 9, 12	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( K e. Dirset /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) -> E. y e. B A. z e. x z .<_ y )
14	13	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( K e. Dirset -> A. x e. ( ~P B i^i Fin ) E. y e. B A. z e. x z .<_ y )
15	1, 14	jca 554	. 2 |- ( K e. Dirset -> ( K e. Preset /\ A. x e. ( ~P B i^i Fin ) E. y e. B A. z e. x z .<_ y ) )
16		simpl 473	. . 3 |- ( ( K e. Preset /\ A. x e. ( ~P B i^i Fin ) E. y e. B A. z e. x z .<_ y ) -> K e. Preset )
17		0elpw 4834	. . . . . . 7 |- (/) e. ~P B
18		0fin 8188	. . . . . . 7 |- (/) e. Fin
19		elin 3796	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ( ~P B i^i Fin ) <-> ( (/) e. ~P B /\ (/) e. Fin ) )
20	17, 18, 19	mpbir2an 955	. . . . . 6 |- (/) e. ( ~P B i^i Fin )
21		raleq 3138	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( A. z e. x z .<_ y <-> A. z e. (/) z .<_ y ) )
22	21	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( E. y e. B A. z e. x z .<_ y <-> E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y ) )
23	22	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( (/) e. ( ~P B i^i Fin ) -> ( A. x e. ( ~P B i^i Fin ) E. y e. B A. z e. x z .<_ y -> E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y ) )
24	20, 23	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( A. x e. ( ~P B i^i Fin ) E. y e. B A. z e. x z .<_ y -> E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y )
25		rexn0 4074	. . . . 5 |- ( E. y e. B A. z e. (/) z .<_ y -> B =/= (/) )
26	24, 25	syl 17	. . . 4 |- ( A. x e. ( ~P B i^i Fin ) E. y e. B A. z e. x z .<_ y -> B =/= (/) )
27	26	adantl 482	. . 3 |- ( ( K e. Preset /\ A. x e. ( ~P B i^i Fin ) E. y e. B A. z e. x z .<_ y ) -> B =/= (/) )
28		prelpwi 4915	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. B /\ b e. B ) -> { a , b } e. ~P B )
29		prfi 8235	. . . . . . . . 9 |- { a , b } e. Fin
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. B /\ b e. B ) -> { a , b } e. Fin )
31	28, 30	elind 3798	. . . . . . 7 |- ( ( a e. B /\ b e. B ) -> { a , b } e. ( ~P B i^i Fin ) )
32	31	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Preset /\ A. x e. ( ~P B i^i Fin ) E. y e. B A. z e. x z .<_ y ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> { a , b } e. ( ~P B i^i Fin ) )
33		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Preset /\ A. x e. ( ~P B i^i Fin ) E. y e. B A. z e. x z .<_ y ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> A. x e. ( ~P B i^i Fin ) E. y e. B A. z e. x z .<_ y )
34		raleq 3138	. . . . . . . 8 |- ( x = { a , b } -> ( A. z e. x z .<_ y <-> A. z e. { a , b } z .<_ y ) )
35	34	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( x = { a , b } -> ( E. y e. B A. z e. x z .<_ y <-> E. y e. B A. z e. { a , b } z .<_ y ) )
36	35	rspcva 3307	. . . . . 6 |- ( ( { a , b } e. ( ~P B i^i Fin ) /\ A. x e. ( ~P B i^i Fin ) E. y e. B A. z e. x z .<_ y ) -> E. y e. B A. z e. { a , b } z .<_ y )
37	32, 33, 36	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Preset /\ A. x e. ( ~P B i^i Fin ) E. y e. B A. z e. x z .<_ y ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> E. y e. B A. z e. { a , b } z .<_ y )
38		vex 3203	. . . . . . 7 |- a e. _V
39		vex 3203	. . . . . . 7 |- b e. _V
40		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( z = a -> ( z .<_ y <-> a .<_ y ) )
41		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( z = b -> ( z .<_ y <-> b .<_ y ) )
42	38, 39, 40, 41	ralpr 4238	. . . . . 6 |- ( A. z e. { a , b } z .<_ y <-> ( a .<_ y /\ b .<_ y ) )
43	42	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. y e. B A. z e. { a , b } z .<_ y <-> E. y e. B ( a .<_ y /\ b .<_ y ) )
44	37, 43	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ( K e. Preset /\ A. x e. ( ~P B i^i Fin ) E. y e. B A. z e. x z .<_ y ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> E. y e. B ( a .<_ y /\ b .<_ y ) )
45	44	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( K e. Preset /\ A. x e. ( ~P B i^i Fin ) E. y e. B A. z e. x z .<_ y ) -> A. a e. B A. b e. B E. y e. B ( a .<_ y /\ b .<_ y ) )
46	10, 11	isdrs 16934	. . 3 |- ( K e. Dirset <-> ( K e. Preset /\ B =/= (/) /\ A. a e. B A. b e. B E. y e. B ( a .<_ y /\ b .<_ y ) ) )
47	16, 27, 45, 46	syl3anbrc 1246	. 2 |- ( ( K e. Preset /\ A. x e. ( ~P B i^i Fin ) E. y e. B A. z e. x z .<_ y ) -> K e. Dirset )
48	15, 47	impbii 199	1 |- ( K e. Dirset <-> ( K e. Preset /\ A. x e. ( ~P B i^i Fin ) E. y e. B A. z e. x z .<_ y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Fincfn 7955   Basecbs 15857   lecple 15948   Preset cpreset 16926  Dirsetcdrs 16927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-preset 16928  df-drs 16929

This theorem is referenced by: (None)