Theorem isidlc 33814

Description: The predicate "is an ideal of the commutative ring R." (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlval.1	|- G = ( 1st ` R )
idlval.2	|- H = ( 2nd ` R )
idlval.3	|- X = ran G
idlval.4	|- Z = (GId ` G )

Assertion

Ref	Expression
isidlc	|- ( R e. CRingOps -> ( I e. ( Idl ` R ) <-> ( I C_ X /\ Z e. I /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( z H x ) e. I ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, R, y, z   z, X   x, I, y, z   x, X

Allowed substitution hints:   G( x, y, z)   H( x, y, z)   X( y)   Z( x, y, z)

Proof of Theorem isidlc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngorngo 33799	. . 3 |- ( R e. CRingOps -> R e. RingOps )
2		idlval.1	. . . 4 |- G = ( 1st ` R )
3		idlval.2	. . . 4 |- H = ( 2nd ` R )
4		idlval.3	. . . 4 |- X = ran G
5		idlval.4	. . . 4 |- Z = (GId ` G )
6	2, 3, 4, 5	isidl 33813	. . 3 |- ( R e. RingOps -> ( I e. ( Idl ` R ) <-> ( I C_ X /\ Z e. I /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) ) ) ) )
7	1, 6	syl 17	. 2 |- ( R e. CRingOps -> ( I e. ( Idl ` R ) <-> ( I C_ X /\ Z e. I /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) ) ) ) )
8		ssel2 3598	. . . . . . . 8 |- ( ( I C_ X /\ x e. I ) -> x e. X )
9	2, 3, 4	crngocom 33800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. CRingOps /\ x e. X /\ z e. X ) -> ( x H z ) = ( z H x ) )
10	9	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. CRingOps /\ x e. X /\ z e. X ) -> ( ( x H z ) e. I <-> ( z H x ) e. I ) )
11	10	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. CRingOps /\ x e. X /\ z e. X ) -> ( ( z H x ) e. I -> ( x H z ) e. I ) )
12	11	3expa 1265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. CRingOps /\ x e. X ) /\ z e. X ) -> ( ( z H x ) e. I -> ( x H z ) e. I ) )
13	12	pm4.71d 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. CRingOps /\ x e. X ) /\ z e. X ) -> ( ( z H x ) e. I <-> ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) ) )
14	13	bicomd 213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRingOps /\ x e. X ) /\ z e. X ) -> ( ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) <-> ( z H x ) e. I ) )
15	14	ralbidva 2985	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. CRingOps /\ x e. X ) -> ( A. z e. X ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) <-> A. z e. X ( z H x ) e. I ) )
16	15	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. CRingOps /\ x e. X ) -> ( ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) ) <-> ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( z H x ) e. I ) ) )
17	8, 16	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRingOps /\ ( I C_ X /\ x e. I ) ) -> ( ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) ) <-> ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( z H x ) e. I ) ) )
18	17	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. CRingOps /\ I C_ X ) /\ x e. I ) -> ( ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) ) <-> ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( z H x ) e. I ) ) )
19	18	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( R e. CRingOps /\ I C_ X ) -> ( A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) ) <-> A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( z H x ) e. I ) ) )
20	19	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( R e. CRingOps /\ ( I C_ X /\ Z e. I ) ) -> ( A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) ) <-> A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( z H x ) e. I ) ) )
21	20	pm5.32da 673	. . 3 |- ( R e. CRingOps -> ( ( ( I C_ X /\ Z e. I ) /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) ) ) <-> ( ( I C_ X /\ Z e. I ) /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( z H x ) e. I ) ) ) )
22		df-3an 1039	. . 3 |- ( ( I C_ X /\ Z e. I /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) ) ) <-> ( ( I C_ X /\ Z e. I ) /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) ) ) )
23		df-3an 1039	. . 3 |- ( ( I C_ X /\ Z e. I /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( z H x ) e. I ) ) <-> ( ( I C_ X /\ Z e. I ) /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( z H x ) e. I ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr4g 303	. 2 |- ( R e. CRingOps -> ( ( I C_ X /\ Z e. I /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) ) ) <-> ( I C_ X /\ Z e. I /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( z H x ) e. I ) ) ) )
25	7, 24	bitrd 268	1 |- ( R e. CRingOps -> ( I e. ( Idl ` R ) <-> ( I C_ X /\ Z e. I /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( z H x ) e. I ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167  GIdcgi 27344   RingOpscrngo 33693  CRingOpsccring 33792   Idlcidl 33806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-rngo 33694  df-com2 33789  df-crngo 33793  df-idl 33809

This theorem is referenced by:  prnc  33866