prnc - Mathbox for Jeff Madsen

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Theorem prnc 33866

Description: A principal ideal (an ideal generated by one element) in a commutative ring. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
prnc.1
prnc.2
prnc.3

**Assertion**
Ref	Expression
prnc	CRingOps $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem prnc Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngorngo 33799	. . . . 5 CRingOps
2		ssrab2 3687	. . . . . . 7
3	2	a1i 11	. . . . . 6 $/\$
4		prnc.1	. . . . . . . . 9
5		prnc.3	. . . . . . . . 9
6		eqid 2622	. . . . . . . . 9 GId GId
7	4, 5, 6	rngo0cl 33718	. . . . . . . 8 GId
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ GId
9		prnc.2	. . . . . . . . . 10
10	6, 5, 4, 9	rngolz 33721	. . . . . . . . 9 $/\$ GId GId
11	10	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 $/\$ GId GId
12		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 GId GId
13	12	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 GId GId GId GId
14	13	rspcev 3309	. . . . . . . 8 GId $/\$ GId GId GId
15	8, 11, 14	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ GId
16		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 GId GId
17	16	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 GId GId
18	17	elrab 3363	. . . . . . 7 GId GId $/\$ GId
19	8, 15, 18	sylanbrc 698	. . . . . 6 $/\$ GId
20		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11
21	20	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10
22		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12
23	22	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11
24	23	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . 10
25	21, 24	syl6bb 276	. . . . . . . . 9
26	25	elrab 3363	. . . . . . . 8 $/\$
27		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
28	27	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16
29		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30	29	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
31	30	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . 16
32	28, 31	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	32	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
34	4, 9, 5	rngodir 33704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
35	34	3exp2 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
36	35	imp42 620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
37	4, 5	rngogcl 33711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
38	37	3expib 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
39	38	imdistani 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
40	4, 9, 5	rngocl 33700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
41	40	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
42		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
43		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
44	43	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
45	44	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
46	42, 45	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
47	46	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
48		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
49	48	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
50	49	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
51	41, 47, 50	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
52	39, 51	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
53	36, 52	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
54	53	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
55	54	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
56		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
57	56	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58	55, 57	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
59	58	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
60	59	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
61	33, 60	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	61	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
63	4, 9, 5	rngoass 33705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
64	63	3exp2 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	64	imp42 620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
66	65	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
67	4, 9, 5	rngocl 33700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
68	67	3expib 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
69	68	imdistani 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
70	4, 9, 5	rngocl 33700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
71	70	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
72		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
73		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
74	73	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
75	74	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
76	72, 75	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
77	76	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
78		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
79	78	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
80	79	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
81	71, 77, 80	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
82	69, 81	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
83	82	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
84	66, 83	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	anass1rs 849	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
86	85	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
87	62, 86	jca 554	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14
89	88	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13
90	89	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12
91		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14
92	91	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13
93	92	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12
94	90, 93	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
95	87, 94	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
96	95	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
97	96	adantld 483	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
98	26, 97	syl5bi 232	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
99	98	ralrimiv 2965	. . . . . 6 $/\$ $/\$
100	3, 19, 99	3jca 1242	. . . . 5 $/\$ $/\$ GId $/\$ $/\$
101	1, 100	sylan 488	. . . 4 CRingOps $/\$ $/\$ GId $/\$ $/\$
102	4, 9, 5, 6	isidlc 33814	. . . . 5 CRingOps $/\$ GId $/\$ $/\$
103	102	adantr 481	. . . 4 CRingOps $/\$ $/\$ GId $/\$ $/\$
104	101, 103	mpbird 247	. . 3 CRingOps $/\$
105		simpr 477	. . . . 5 CRingOps $/\$
106	4	rneqi 5352	. . . . . . . . . 10
107	5, 106	eqtri 2644	. . . . . . . . 9
108		eqid 2622	. . . . . . . . 9 GId GId
109	107, 9, 108	rngo1cl 33738	. . . . . . . 8 GId
110	109	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ GId
111	9, 107, 108	rngolidm 33736	. . . . . . . 8 $/\$ GId
112	111	eqcomd 2628	. . . . . . 7 $/\$ GId
113		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 GId GId
114	113	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 GId GId
115	114	rspcev 3309	. . . . . . 7 GId $/\$ GId
116	110, 112, 115	syl2anc 693	. . . . . 6 $/\$
117	1, 116	sylan 488	. . . . 5 CRingOps $/\$
118		eqeq1 2626	. . . . . . 7
119	118	rexbidv 3052	. . . . . 6
120	119	elrab 3363	. . . . 5 $/\$
121	105, 117, 120	sylanbrc 698	. . . 4 CRingOps $/\$
122	121	snssd 4340	. . 3 CRingOps $/\$
123		snssg 4327	. . . . . . . . 9
124	123	biimpar 502	. . . . . . . 8 $/\$
125	4, 9, 5	idllmulcl 33819	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
126	125	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
127		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14
128	126, 127	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
129	128	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
130	129	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
131	130	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
132		rabss 3679	. . . . . . . . . 10
133	131, 132	sylibr 224	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
134	133	ex 450	. . . . . . . 8 $/\$
135	124, 134	syl5 34	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
136	135	expdimp 453	. . . . . 6 $/\$ $/\$
137	136	an32s 846	. . . . 5 $/\$ $/\$
138	137	ralrimiva 2966	. . . 4 $/\$
139	1, 138	sylan 488	. . 3 CRingOps $/\$
140	104, 122, 139	3jca 1242	. 2 CRingOps $/\$ $/\$ $/\$
141		snssi 4339	. . 3
142	4, 5	igenval2 33865	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
143	1, 141, 142	syl2an 494	. 2 CRingOps $/\$ $/\$ $/\$
144	140, 143	mpbird 247	1 CRingOps $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

crab 2916

wss 3574

csn 4177

crn 5115

cfv 5888 (class class class)co 6650

c1st 7166

c2nd 7167 GIdcgi 27344

crngo 33693 CRingOpsccring 33792

cidl 33806

cigen 33858

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-grpo 27347 df-gid 27348 df-ginv 27349 df-ablo 27399 df-ass 33642 df-exid 33644 df-mgmOLD 33648 df-sgrOLD 33660 df-mndo 33666 df-rngo 33694 df-com2 33789 df-crngo 33793 df-idl 33809 df-igen 33859

This theorem is referenced by: isfldidl 33867 ispridlc 33869

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