Theorem isldsys 30219

Description: The property of being a lambda-system or Dynkin system. Lambda-systems contain the empty set, are closed under complement, and closed under countable disjoint union. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
isldsys.l	|- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }

Assertion

Ref	Expression
isldsys	|- ( S e. L <-> ( S e. ~P ~P O /\ ( (/) e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. S ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, s   O, s, x   S, s, x

Allowed substitution hints:   S( y)   L( x, y, s)   O( y)

Proof of Theorem isldsys

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2690	. . 3 |- ( s = S -> ( (/) e. s <-> (/) e. S ) )
2		eleq2 2690	. . . 4 |- ( s = S -> ( ( O \ x ) e. s <-> ( O \ x ) e. S ) )
3	2	raleqbi1dv 3146	. . 3 |- ( s = S -> ( A. x e. s ( O \ x ) e. s <-> A. x e. S ( O \ x ) e. S ) )
4		pweq 4161	. . . 4 |- ( s = S -> ~P s = ~P S )
5		eleq2 2690	. . . . 5 |- ( s = S -> ( U. x e. s <-> U. x e. S ) )
6	5	imbi2d 330	. . . 4 |- ( s = S -> ( ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) <-> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. S ) ) )
7	4, 6	raleqbidv 3152	. . 3 |- ( s = S -> ( A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) <-> A. x e. ~P S ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. S ) ) )
8	1, 3, 7	3anbi123d 1399	. 2 |- ( s = S -> ( ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) <-> ( (/) e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. S ) ) ) )
9		isldsys.l	. 2 |- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }
10	8, 9	elrab2 3366	1 |- ( S e. L <-> ( S e. ~P ~P O /\ ( (/) e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. S ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~<_ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-pw 4160

This theorem is referenced by:  pwldsys  30220  unelldsys  30221  sigaldsys  30222  ldsysgenld  30223  sigapildsyslem  30224  sigapildsys  30225  ldgenpisyslem1  30226