Theorem sigapildsys 30225

Description: Sigma-algebra are exactly classes which are both lambda and pi-systems. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	|- P = { s e. ~P ~P O | ( fi ` s ) C_ s }
dynkin.l	|- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }

Assertion

Ref	Expression
sigapildsys	|- (sigAlgebra ` O ) = ( P i^i L )

Distinct variable groups:   x, s, y   x, L, y   O, s, x   x, P, y

Allowed substitution hints:   P( s)   L( s)   O( y)

Proof of Theorem sigapildsys

Dummy variables f i n t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dynkin.p	. . . 4 |- P = { s e. ~P ~P O | ( fi ` s ) C_ s }
2	1	sigapisys 30218	. . 3 |- (sigAlgebra ` O ) C_ P
3		dynkin.l	. . . 4 |- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }
4	3	sigaldsys 30222	. . 3 |- (sigAlgebra ` O ) C_ L
5	2, 4	ssini 3836	. 2 |- (sigAlgebra ` O ) C_ ( P i^i L )
6		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( P i^i L ) -> t e. ( P i^i L ) )
7	6	elin1d 3802	. . . . . . . 8 |- ( t e. ( P i^i L ) -> t e. P )
8	1	ispisys 30215	. . . . . . . 8 |- ( t e. P <-> ( t e. ~P ~P O /\ ( fi ` t ) C_ t ) )
9	7, 8	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( t e. ( P i^i L ) -> ( t e. ~P ~P O /\ ( fi ` t ) C_ t ) )
10	9	simpld 475	. . . . . 6 |- ( t e. ( P i^i L ) -> t e. ~P ~P O )
11	10	elpwid 4170	. . . . 5 |- ( t e. ( P i^i L ) -> t C_ ~P O )
12		dif0 3950	. . . . . . 7 |- ( O \ (/) ) = O
13	6	elin2d 3803	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( P i^i L ) -> t e. L )
14	3	isldsys 30219	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. L <-> ( t e. ~P ~P O /\ ( (/) e. t /\ A. x e. t ( O \ x ) e. t /\ A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) ) ) )
15	13, 14	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ( P i^i L ) -> ( t e. ~P ~P O /\ ( (/) e. t /\ A. x e. t ( O \ x ) e. t /\ A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) ) ) )
16	15	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( P i^i L ) -> ( (/) e. t /\ A. x e. t ( O \ x ) e. t /\ A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) ) )
17	16	simp2d 1074	. . . . . . . 8 |- ( t e. ( P i^i L ) -> A. x e. t ( O \ x ) e. t )
18	16	simp1d 1073	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( P i^i L ) -> (/) e. t )
19		difeq2 3722	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( O \ x ) = ( O \ (/) ) )
20		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> t = t )
21	19, 20	eleq12d 2695	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ( O \ x ) e. t <-> ( O \ (/) ) e. t ) )
22	21	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. t -> ( A. x e. t ( O \ x ) e. t -> ( O \ (/) ) e. t ) )
23	18, 22	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( t e. ( P i^i L ) -> ( A. x e. t ( O \ x ) e. t -> ( O \ (/) ) e. t ) )
24	17, 23	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( t e. ( P i^i L ) -> ( O \ (/) ) e. t )
25	12, 24	syl5eqelr 2706	. . . . . 6 |- ( t e. ( P i^i L ) -> O e. t )
26		unieq 4444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> U. x = U. (/) )
27		uni0 4465	. . . . . . . . . . . 12 |- U. (/) = (/)
28	26, 27	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> U. x = (/) )
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x = (/) ) -> U. x = (/) )
30	18	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x = (/) ) -> (/) e. t )
31	29, 30	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x = (/) ) -> U. x e. t )
32		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
33	32	0sdom 8091	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) ~< x <-> x =/= (/) )
34	33	biimpri 218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x =/= (/) -> (/) ~< x )
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) -> (/) ~< x )
36		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) -> x ~<_ om )
37		nnenom 12779	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN ~~ om
38	37	ensymi 8006	. . . . . . . . . . . 12 |- om ~~ NN
39		domentr 8015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x ~<_ om /\ om ~~ NN ) -> x ~<_ NN )
40	36, 38, 39	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) -> x ~<_ NN )
41		fodomr 8111	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (/) ~< x /\ x ~<_ NN ) -> E. f f : NN -onto-> x )
42	35, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) -> E. f f : NN -onto-> x )
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = i -> ( f ` n ) = ( f ` i ) )
44	43	iundisj 23316	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ n e. NN ( f ` n ) = U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) )
45		fofn 6117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : NN -onto-> x -> f Fn NN )
46		fniunfv 6505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f Fn NN -> U_ n e. NN ( f ` n ) = U. ran f )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : NN -onto-> x -> U_ n e. NN ( f ` n ) = U. ran f )
48		forn 6118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : NN -onto-> x -> ran f = x )
49	48	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : NN -onto-> x -> U. ran f = U. x )
50	47, 49	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : NN -onto-> x -> U_ n e. NN ( f ` n ) = U. x )
51	44, 50	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : NN -onto-> x -> U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) = U. x )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) -> U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) = U. x )
53		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f ` n ) e. _V
54		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` n ) e. _V -> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) e. _V )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) e. _V
56	55	dfiun3 5380	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) = U. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) )
57		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ n ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x )
58		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ n y
59		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) )
60	59	nfrn 5368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ n ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) )
61	58, 60	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ n y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) )
62	57, 61	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ n ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) )
63		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) /\ n e. NN ) /\ y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) -> y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) )
64		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ i ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x )
65		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ i y
66		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/_ i NN
67		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/_ i ( f ` n )
68		nfiu1 4550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- F/_ i U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i )
69	67, 68	nfdif 3731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- F/_ i ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) )
70	66, 69	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ i ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) )
71	70	nfrn 5368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ i ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) )
72	65, 71	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ i y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) )
73	64, 72	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ i ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) )
74		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ i n e. NN
75	73, 74	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ i ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) /\ n e. NN )
76	65, 69	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ i y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) )
77	75, 76	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ i ( ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) /\ n e. NN ) /\ y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) )
78	6	ad7antr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) /\ n e. NN ) /\ y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) -> t e. ( P i^i L ) )
79		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) -> x e. ~P t )
80	79	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) /\ n e. NN ) /\ y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) -> x e. ~P t )
81	80	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) /\ n e. NN ) /\ y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) -> x C_ t )
82		fof 6115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : NN -onto-> x -> f : NN --> x )
83	82	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) /\ n e. NN ) /\ y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) -> f : NN --> x )
84		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) /\ n e. NN ) /\ y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) -> n e. NN )
85	83, 84	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) /\ n e. NN ) /\ y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) -> ( f ` n ) e. x )
86	81, 85	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) /\ n e. NN ) /\ y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) -> ( f ` n ) e. t )
87		fzofi 12773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1..^ n ) e. Fin
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) /\ n e. NN ) /\ y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) -> ( 1..^ n ) e. Fin )
89	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) /\ n e. NN ) /\ y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) /\ i e. ( 1..^ n ) ) -> x C_ t )
90	83	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) /\ n e. NN ) /\ y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) /\ i e. ( 1..^ n ) ) -> f : NN --> x )
91		fzossnn 12516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1..^ n ) C_ NN
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) /\ n e. NN ) /\ y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) -> ( 1..^ n ) C_ NN )
93	92	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) /\ n e. NN ) /\ y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) /\ i e. ( 1..^ n ) ) -> i e. NN )
94	90, 93	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) /\ n e. NN ) /\ y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) /\ i e. ( 1..^ n ) ) -> ( f ` i ) e. x )
95	89, 94	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) /\ n e. NN ) /\ y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) /\ i e. ( 1..^ n ) ) -> ( f ` i ) e. t )
96	1, 3, 77, 78, 86, 88, 95	sigapildsyslem 30224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) /\ n e. NN ) /\ y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) -> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) e. t )
97	63, 96	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) /\ n e. NN ) /\ y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) -> y e. t )
98		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) -> y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) )
99		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) )
100	99, 55	elrnmpti 5376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) <-> E. n e. NN y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) )
101	98, 100	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) -> E. n e. NN y = ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) )
102	62, 97, 101	r19.29af 3076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) /\ y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ) -> y e. t )
103	102	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) -> ( y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) -> y e. t ) )
104	103	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) -> ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) C_ t )
105		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN e. _V
106	105	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) e. _V
107	106	rnex 7100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) e. _V
108		elpwg 4166	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) e. _V -> ( ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) e. ~P t <-> ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) C_ t ) )
109	107, 108	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) e. ~P t <-> ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) C_ t )
110	104, 109	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) -> ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) e. ~P t )
111	16	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. ( P i^i L ) -> A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) )
112	111	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) -> A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) )
113		nnct 12780	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN ~<_ om
114		mptct 9360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( NN ~<_ om -> ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ~<_ om )
115	113, 114	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ~<_ om
116		rnct 9347	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ~<_ om -> ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ~<_ om )
117	115, 116	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) -> ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ~<_ om )
118	43	iundisj2 23317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Disj n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) )
119		disjrnmpt 29398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Disj n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) -> Disj y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) y )
120	118, 119	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) -> Disj y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) y )
121		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) -> ( x ~<_ om <-> ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ~<_ om ) )
122		disjeq1 4627	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) -> (Disj y e. x y <-> Disj y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) y ) )
123	121, 122	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) -> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) <-> ( ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ~<_ om /\ Disj y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) y ) ) )
124		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) -> U. x = U. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) )
125	124	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) -> ( U. x e. t <-> U. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) e. t ) )
126	123, 125	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) -> ( ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) <-> ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ~<_ om /\ Disj y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) y ) -> U. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) e. t ) ) )
127	126	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) e. ~P t -> ( A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) -> ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ~<_ om /\ Disj y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) y ) -> U. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) e. t ) ) )
128	127	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) e. ~P t /\ A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) ) -> ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ~<_ om /\ Disj y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) y ) -> U. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) e. t ) )
129	128	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) e. ~P t /\ A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) ) /\ ( ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) ~<_ om /\ Disj y e. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) y ) ) -> U. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) e. t )
130	110, 112, 117, 120, 129	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) -> U. ran ( n e. NN |-> ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) ) e. t )
131	56, 130	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) -> U_ n e. NN ( ( f ` n ) \ U_ i e. ( 1..^ n ) ( f ` i ) ) e. t )
132	52, 131	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) /\ f : NN -onto-> x ) -> U. x e. t )
133	42, 132	exlimddv 1863	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) /\ x =/= (/) ) -> U. x e. t )
134	31, 133	pm2.61dane 2881	. . . . . . . 8 |- ( ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) /\ x ~<_ om ) -> U. x e. t )
135	134	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( t e. ( P i^i L ) /\ x e. ~P t ) -> ( x ~<_ om -> U. x e. t ) )
136	135	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( t e. ( P i^i L ) -> A. x e. ~P t ( x ~<_ om -> U. x e. t ) )
137	25, 17, 136	3jca 1242	. . . . 5 |- ( t e. ( P i^i L ) -> ( O e. t /\ A. x e. t ( O \ x ) e. t /\ A. x e. ~P t ( x ~<_ om -> U. x e. t ) ) )
138	11, 137	jca 554	. . . 4 |- ( t e. ( P i^i L ) -> ( t C_ ~P O /\ ( O e. t /\ A. x e. t ( O \ x ) e. t /\ A. x e. ~P t ( x ~<_ om -> U. x e. t ) ) ) )
139		vex 3203	. . . . 5 |- t e. _V
140		issiga 30174	. . . . 5 |- ( t e. _V -> ( t e. (sigAlgebra ` O ) <-> ( t C_ ~P O /\ ( O e. t /\ A. x e. t ( O \ x ) e. t /\ A. x e. ~P t ( x ~<_ om -> U. x e. t ) ) ) ) )
141	139, 140	ax-mp 5	. . . 4 |- ( t e. (sigAlgebra ` O ) <-> ( t C_ ~P O /\ ( O e. t /\ A. x e. t ( O \ x ) e. t /\ A. x e. ~P t ( x ~<_ om -> U. x e. t ) ) ) )
142	138, 141	sylibr 224	. . 3 |- ( t e. ( P i^i L ) -> t e. (sigAlgebra ` O ) )
143	142	ssriv 3607	. 2 |- ( P i^i L ) C_ (sigAlgebra ` O )
144	5, 143	eqssi 3619	1 |- (sigAlgebra ` O ) = ( P i^i L )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955   ficfi 8316   1c1 9937   NNcn 11020  ..^cfzo 12465  sigAlgebracsiga 30170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-siga 30171

This theorem is referenced by:  dynkin  30230