Theorem ldsysgenld 30223

Description: The intersection of all lambda-systems containing a given collection of sets A, which is called the lambda-system generated by A, is itself also a lambda-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isldsys.l	|- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }
ldsysgenld.1	|- ( ph -> O e. V )
ldsysgenld.2	|- ( ph -> A C_ ~P O )

Assertion

Ref	Expression
ldsysgenld	|- ( ph -> |^| { t e. L | A C_ t } e. L )

Distinct variable groups:   y, s   t, L   O, s, t, x   x, V   y, t   A, s, t, x   L, s, x   ph, t, x

Allowed substitution hints:   ph( y, s)   A( y)   L( y)   O( y)   V( y, t, s)

Proof of Theorem ldsysgenld

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldsysgenld.1	. . . . 5 |- ( ph -> O e. V )
2		pwsiga 30193	. . . . 5 |- ( O e. V -> ~P O e. (sigAlgebra ` O ) )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ~P O e. (sigAlgebra ` O ) )
4		isldsys.l	. . . . . . . 8 |- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }
5	4	sigaldsys 30222	. . . . . . 7 |- (sigAlgebra ` O ) C_ L
6	5, 3	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ph -> ~P O e. L )
7		ldsysgenld.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ ~P O )
8		sseq2 3627	. . . . . . 7 |- ( t = ~P O -> ( A C_ t <-> A C_ ~P O ) )
9	8	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( ~P O e. { t e. L | A C_ t } <-> ( ~P O e. L /\ A C_ ~P O ) )
10	6, 7, 9	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ph -> ~P O e. { t e. L | A C_ t } )
11		intss1 4492	. . . . 5 |- ( ~P O e. { t e. L | A C_ t } -> |^| { t e. L | A C_ t } C_ ~P O )
12	10, 11	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> |^| { t e. L | A C_ t } C_ ~P O )
13	3, 12	sselpwd 4807	. . 3 |- ( ph -> |^| { t e. L | A C_ t } e. ~P ~P O )
14	4	isldsys 30219	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. L <-> ( t e. ~P ~P O /\ ( (/) e. t /\ A. x e. t ( O \ x ) e. t /\ A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) ) ) )
15	14	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- ( t e. L -> ( (/) e. t /\ A. x e. t ( O \ x ) e. t /\ A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) ) )
16	15	simp1d 1073	. . . . . . . 8 |- ( t e. L -> (/) e. t )
17	16	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> (/) e. t )
18	17	a1d 25	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> ( A C_ t -> (/) e. t ) )
19	18	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. t e. L ( A C_ t -> (/) e. t ) )
20		0ex 4790	. . . . . 6 |- (/) e. _V
21	20	elintrab 4488	. . . . 5 |- ( (/) e. |^| { t e. L | A C_ t } <-> A. t e. L ( A C_ t -> (/) e. t ) )
22	19, 21	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> (/) e. |^| { t e. L | A C_ t } )
23		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ t ph
24		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ t x
25		nfrab1 3122	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t { t e. L | A C_ t }
26	25	nfint 4486	. . . . . . . . 9 |- F/_ t |^| { t e. L | A C_ t }
27	24, 26	nfel 2777	. . . . . . . 8 |- F/ t x e. |^| { t e. L | A C_ t }
28	23, 27	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ t ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } )
29		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> t e. L )
30		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
31	30	elintrab 4488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. |^| { t e. L | A C_ t } <-> A. t e. L ( A C_ t -> x e. t ) )
32	31	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. |^| { t e. L | A C_ t } -> A. t e. L ( A C_ t -> x e. t ) )
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) -> A. t e. L ( A C_ t -> x e. t ) )
34	33	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ t e. L ) -> ( A C_ t -> x e. t ) )
35	34	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> x e. t )
36	15	simp2d 1074	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. L -> A. x e. t ( O \ x ) e. t )
37	36	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. L /\ x e. t ) -> ( O \ x ) e. t )
38	29, 35, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> ( O \ x ) e. t )
39	38	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ t e. L ) -> ( A C_ t -> ( O \ x ) e. t ) )
40	39	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) -> ( t e. L -> ( A C_ t -> ( O \ x ) e. t ) ) )
41	28, 40	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) -> A. t e. L ( A C_ t -> ( O \ x ) e. t ) )
42		difexg 4808	. . . . . . . 8 |- ( O e. V -> ( O \ x ) e. _V )
43		elintrabg 4489	. . . . . . . 8 |- ( ( O \ x ) e. _V -> ( ( O \ x ) e. |^| { t e. L | A C_ t } <-> A. t e. L ( A C_ t -> ( O \ x ) e. t ) ) )
44	1, 42, 43	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( O \ x ) e. |^| { t e. L | A C_ t } <-> A. t e. L ( A C_ t -> ( O \ x ) e. t ) ) )
45	44	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) -> ( ( O \ x ) e. |^| { t e. L | A C_ t } <-> A. t e. L ( A C_ t -> ( O \ x ) e. t ) ) )
46	41, 45	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) -> ( O \ x ) e. |^| { t e. L | A C_ t } )
47	46	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. |^| { t e. L | A C_ t } ( O \ x ) e. |^| { t e. L | A C_ t } )
48	26	nfpw 4172	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t ~P |^| { t e. L | A C_ t }
49	24, 48	nfel 2777	. . . . . . . . . 10 |- F/ t x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t }
50	23, 49	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } )
51		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y )
52	50, 51	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) )
53		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> t e. L )
54		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) /\ u e. |^| { t e. L | A C_ t } ) -> u e. |^| { t e. L | A C_ t } )
55		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) /\ u e. |^| { t e. L | A C_ t } ) -> t e. L )
56		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) /\ u e. |^| { t e. L | A C_ t } ) -> A C_ t )
57		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- u e. _V
58	57	elintrab 4488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. |^| { t e. L | A C_ t } <-> A. t e. L ( A C_ t -> u e. t ) )
59	58	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. |^| { t e. L | A C_ t } -> A. t e. L ( A C_ t -> u e. t ) )
60	59	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. |^| { t e. L | A C_ t } /\ t e. L ) -> ( A C_ t -> u e. t ) )
61	60	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( u e. |^| { t e. L | A C_ t } /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> u e. t )
62	54, 55, 56, 61	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) /\ u e. |^| { t e. L | A C_ t } ) -> u e. t )
63	62	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> ( u e. |^| { t e. L | A C_ t } -> u e. t ) )
64	63	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> |^| { t e. L | A C_ t } C_ t )
65		sspwb 4917	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( |^| { t e. L | A C_ t } C_ t <-> ~P |^| { t e. L | A C_ t } C_ ~P t )
66	64, 65	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> ~P |^| { t e. L | A C_ t } C_ ~P t )
67		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } )
68	66, 67	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> x e. ~P t )
69		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) )
70	15	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. L -> A. x e. ~P t ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) )
71	70	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. L /\ x e. ~P t ) -> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. t ) )
72	71	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( t e. L /\ x e. ~P t ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> U. x e. t )
73	53, 68, 69, 72	syl21anc 1325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) /\ A C_ t ) -> U. x e. t )
74	73	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ t e. L ) -> ( A C_ t -> U. x e. t ) )
75	74	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> ( t e. L -> ( A C_ t -> U. x e. t ) ) )
76	52, 75	ralrimi 2957	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> A. t e. L ( A C_ t -> U. x e. t ) )
77		vuniex 6954	. . . . . . . 8 |- U. x e. _V
78	77	elintrab 4488	. . . . . . 7 |- ( U. x e. |^| { t e. L | A C_ t } <-> A. t e. L ( A C_ t -> U. x e. t ) )
79	76, 78	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> U. x e. |^| { t e. L | A C_ t } )
80	79	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ) -> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) )
81	80	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) )
82	22, 47, 81	3jca 1242	. . 3 |- ( ph -> ( (/) e. |^| { t e. L | A C_ t } /\ A. x e. |^| { t e. L | A C_ t } ( O \ x ) e. |^| { t e. L | A C_ t } /\ A. x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) ) )
83	13, 82	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( |^| { t e. L | A C_ t } e. ~P ~P O /\ ( (/) e. |^| { t e. L | A C_ t } /\ A. x e. |^| { t e. L | A C_ t } ( O \ x ) e. |^| { t e. L | A C_ t } /\ A. x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) ) ) )
84	4	isldsys 30219	. 2 |- ( |^| { t e. L | A C_ t } e. L <-> ( |^| { t e. L | A C_ t } e. ~P ~P O /\ ( (/) e. |^| { t e. L | A C_ t } /\ A. x e. |^| { t e. L | A C_ t } ( O \ x ) e. |^| { t e. L | A C_ t } /\ A. x e. ~P |^| { t e. L | A C_ t } ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. |^| { t e. L | A C_ t } ) ) ) )
85	83, 84	sylibr 224	1 |- ( ph -> |^| { t e. L | A C_ t } e. L )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   omcom 7065   ~<_ cdom 7953  sigAlgebracsiga 30170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-siga 30171

This theorem is referenced by:  ldgenpisys  30229  dynkin  30230