Theorem unelldsys 30221

Description: Lambda-systems are closed under disjoint set unions. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isldsys.l	|- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }
unelldsys.s	|- ( ph -> S e. L )
unelldsys.a	|- ( ph -> A e. S )
unelldsys.b	|- ( ph -> B e. S )
unelldsys.c	|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
unelldsys	|- ( ph -> ( A u. B ) e. S )

Distinct variable groups:   y, s   O, s, x   S, s, x   x, y   y, A   y, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y, s)   A( x, s)   B( x, s)   S( y)   L( x, y, s)   O( y)

Proof of Theorem unelldsys

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 3760	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( A u. B ) = ( (/) u. B ) )
2	1	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( A u. B ) = ( (/) u. B ) )
3		uncom 3757	. . . . 5 |- ( B u. (/) ) = ( (/) u. B )
4		un0 3967	. . . . 5 |- ( B u. (/) ) = B
5	3, 4	eqtr3i 2646	. . . 4 |- ( (/) u. B ) = B
6	2, 5	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( A u. B ) = B )
7		unelldsys.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. S )
8	7	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> B e. S )
9	6, 8	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ph /\ A = (/) ) -> ( A u. B ) e. S )
10		unelldsys.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. S )
11		uniprg 4450	. . . . 5 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> U. { A , B } = ( A u. B ) )
12	10, 7, 11	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> U. { A , B } = ( A u. B ) )
13	12	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> U. { A , B } = ( A u. B ) )
14		prct 29492	. . . . . 6 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> { A , B } ~<_ om )
15	10, 7, 14	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> { A , B } ~<_ om )
16	15	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> { A , B } ~<_ om )
17		unelldsys.c	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) )
18	17	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
19	10	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> A e. S )
20	7	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> B e. S )
21		n0 3931	. . . . . . . . 9 |- ( A =/= (/) <-> E. z z e. A )
22	21	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( A =/= (/) -> E. z z e. A )
23	22	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> E. z z e. A )
24		disjel 4023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ z e. A ) -> -. z e. B )
25	17, 24	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> -. z e. B )
26		nelne1 2890	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. A /\ -. z e. B ) -> A =/= B )
27	26	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ -. z e. B ) -> A =/= B )
28	25, 27	mpdan 702	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> A =/= B )
29	28	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A =/= (/) ) /\ z e. A ) -> A =/= B )
30	23, 29	exlimddv 1863	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> A =/= B )
31		id 22	. . . . . . 7 |- ( y = A -> y = A )
32		id 22	. . . . . . 7 |- ( y = B -> y = B )
33	31, 32	disjprg 4648	. . . . . 6 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> (Disj y e. { A , B } y <-> ( A i^i B ) = (/) ) )
34	19, 20, 30, 33	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> (Disj y e. { A , B } y <-> ( A i^i B ) = (/) ) )
35	18, 34	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> Disj y e. { A , B } y )
36		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( z = { A , B } -> ( z ~<_ om <-> { A , B } ~<_ om ) )
37		disjeq1 4627	. . . . . . . 8 |- ( z = { A , B } -> (Disj y e. z y <-> Disj y e. { A , B } y ) )
38	36, 37	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( z = { A , B } -> ( ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) <-> ( { A , B } ~<_ om /\ Disj y e. { A , B } y ) ) )
39		unieq 4444	. . . . . . . 8 |- ( z = { A , B } -> U. z = U. { A , B } )
40	39	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( z = { A , B } -> ( U. z e. S <-> U. { A , B } e. S ) )
41	38, 40	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( z = { A , B } -> ( ( ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) -> U. z e. S ) <-> ( ( { A , B } ~<_ om /\ Disj y e. { A , B } y ) -> U. { A , B } e. S ) ) )
42		unelldsys.s	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. L )
43		isldsys.l	. . . . . . . . . . 11 |- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }
44		biid 251	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) e. s <-> (/) e. s )
45		difeq2 3722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( O \ x ) = ( O \ z ) )
46	45	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( ( O \ x ) e. s <-> ( O \ z ) e. s ) )
47	46	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. s ( O \ x ) e. s <-> A. z e. s ( O \ z ) e. s )
48		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( x ~<_ om <-> z ~<_ om ) )
49		disjeq1 4627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> (Disj y e. x y <-> Disj y e. z y ) )
50	48, 49	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) <-> ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) ) )
51		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> U. x = U. z )
52	51	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( U. x e. s <-> U. z e. s ) )
53	50, 52	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) <-> ( ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) -> U. z e. s ) ) )
54	53	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) <-> A. z e. ~P s ( ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) -> U. z e. s ) )
55	44, 47, 54	3anbi123i 1251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) <-> ( (/) e. s /\ A. z e. s ( O \ z ) e. s /\ A. z e. ~P s ( ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) -> U. z e. s ) ) )
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ~P ~P O -> ( ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) <-> ( (/) e. s /\ A. z e. s ( O \ z ) e. s /\ A. z e. ~P s ( ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) -> U. z e. s ) ) ) )
57	56	rabbiia 3185	. . . . . . . . . . 11 |- { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) } = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. z e. s ( O \ z ) e. s /\ A. z e. ~P s ( ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) -> U. z e. s ) ) }
58	43, 57	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. z e. s ( O \ z ) e. s /\ A. z e. ~P s ( ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) -> U. z e. s ) ) }
59	58	isldsys 30219	. . . . . . . . 9 |- ( S e. L <-> ( S e. ~P ~P O /\ ( (/) e. S /\ A. z e. S ( O \ z ) e. S /\ A. z e. ~P S ( ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) -> U. z e. S ) ) ) )
60	42, 59	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S e. ~P ~P O /\ ( (/) e. S /\ A. z e. S ( O \ z ) e. S /\ A. z e. ~P S ( ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) -> U. z e. S ) ) ) )
61	60	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (/) e. S /\ A. z e. S ( O \ z ) e. S /\ A. z e. ~P S ( ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) -> U. z e. S ) ) )
62	61	simp3d 1075	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. ~P S ( ( z ~<_ om /\ Disj y e. z y ) -> U. z e. S ) )
63		prelpwi 4915	. . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> { A , B } e. ~P S )
64	10, 7, 63	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> { A , B } e. ~P S )
65	41, 62, 64	rspcdva 3316	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( { A , B } ~<_ om /\ Disj y e. { A , B } y ) -> U. { A , B } e. S ) )
66	65	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> ( ( { A , B } ~<_ om /\ Disj y e. { A , B } y ) -> U. { A , B } e. S ) )
67	16, 35, 66	mp2and 715	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> U. { A , B } e. S )
68	13, 67	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ( ph /\ A =/= (/) ) -> ( A u. B ) e. S )
69	9, 68	pm2.61dane 2881	1 |- ( ph -> ( A u. B ) e. S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   U.cuni 4436  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~<_ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem1  30226