Theorem pwldsys 30220

Description: The power set of the universe set O is always a lambda-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
isldsys.l	|- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }

Assertion

Ref	Expression
pwldsys	|- ( O e. V -> ~P O e. L )

Distinct variable groups:   y, s   O, s, x   x, V

Allowed substitution hints:   L( x, y, s)   O( y)   V( y, s)

Proof of Theorem pwldsys

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4850	. . . 4 |- ( O e. V -> ~P O e. _V )
2		pwidg 4173	. . . 4 |- ( ~P O e. _V -> ~P O e. ~P ~P O )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( O e. V -> ~P O e. ~P ~P O )
4		0elpw 4834	. . . . 5 |- (/) e. ~P O
5	4	a1i 11	. . . 4 |- ( O e. V -> (/) e. ~P O )
6		pwidg 4173	. . . . . . 7 |- ( O e. V -> O e. ~P O )
7	6	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( O e. V /\ x e. ~P O ) -> O e. ~P O )
8	7	elpwdifcl 29358	. . . . 5 |- ( ( O e. V /\ x e. ~P O ) -> ( O \ x ) e. ~P O )
9	8	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( O e. V -> A. x e. ~P O ( O \ x ) e. ~P O )
10		elpwi 4168	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P ~P O -> x C_ ~P O )
11		pwuniss 29370	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ ~P O -> U. x C_ O )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ~P O -> U. x C_ O )
13	12	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( O e. V /\ x e. ~P ~P O ) -> U. x C_ O )
14		vuniex 6954	. . . . . . . . 9 |- U. x e. _V
15	14	elpw 4164	. . . . . . . 8 |- ( U. x e. ~P O <-> U. x C_ O )
16	13, 15	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( O e. V /\ x e. ~P ~P O ) -> U. x e. ~P O )
17	16	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( O e. V /\ x e. ~P ~P O ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> U. x e. ~P O )
18	17	ex 450	. . . . 5 |- ( ( O e. V /\ x e. ~P ~P O ) -> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. ~P O ) )
19	18	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( O e. V -> A. x e. ~P ~P O ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. ~P O ) )
20	5, 9, 19	3jca 1242	. . 3 |- ( O e. V -> ( (/) e. ~P O /\ A. x e. ~P O ( O \ x ) e. ~P O /\ A. x e. ~P ~P O ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. ~P O ) ) )
21	3, 20	jca 554	. 2 |- ( O e. V -> ( ~P O e. ~P ~P O /\ ( (/) e. ~P O /\ A. x e. ~P O ( O \ x ) e. ~P O /\ A. x e. ~P ~P O ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. ~P O ) ) ) )
22		isldsys.l	. . 3 |- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }
23	22	isldsys 30219	. 2 |- ( ~P O e. L <-> ( ~P O e. ~P ~P O /\ ( (/) e. ~P O /\ A. x e. ~P O ( O \ x ) e. ~P O /\ A. x e. ~P ~P O ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. ~P O ) ) ) )
24	21, 23	sylibr 224	1 |- ( O e. V -> ~P O e. L )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~<_ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437

This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem1  30226