Theorem ismea 40668

Description: Express the predicate " M is a measure." Definition 112A of [Fremlin1] p. 14. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ismea	|- ( M e. Meas <-> ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, M   x, y

Allowed substitution hint:   M( y)

Proof of Theorem ismea

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 |- ( M e. Meas -> M e. Meas )
2		elex 3212	. . . . . 6 |- ( M e. Meas -> M e. _V )
3		df-mea 40667	. . . . . . . . 9 |- Meas = { z | ( ( ( z : dom z --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom z e. SAlg ) /\ ( z ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom z ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( z ` U. x ) = (Σ^ ` ( z |` x ) ) ) ) }
4	3	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( M e. Meas <-> M e. { z | ( ( ( z : dom z --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom z e. SAlg ) /\ ( z ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom z ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( z ` U. x ) = (Σ^ ` ( z |` x ) ) ) ) } )
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( M e. _V -> ( M e. Meas <-> M e. { z | ( ( ( z : dom z --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom z e. SAlg ) /\ ( z ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom z ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( z ` U. x ) = (Σ^ ` ( z |` x ) ) ) ) } ) )
6		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = M -> z = M )
7		dmeq 5324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = M -> dom z = dom M )
8	6, 7	feq12d 6033	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = M -> ( z : dom z --> ( 0 [,] +oo ) <-> M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) ) )
9	7	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = M -> ( dom z e. SAlg <-> dom M e. SAlg ) )
10	8, 9	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( z = M -> ( ( z : dom z --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom z e. SAlg ) <-> ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) ) )
11		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = M -> ( z ` (/) ) = ( M ` (/) ) )
12	11	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( z = M -> ( ( z ` (/) ) = 0 <-> ( M ` (/) ) = 0 ) )
13	10, 12	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( z = M -> ( ( ( z : dom z --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom z e. SAlg ) /\ ( z ` (/) ) = 0 ) <-> ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) ) )
14	7	pweqd 4163	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = M -> ~P dom z = ~P dom M )
15	14	raleqdv 3144	. . . . . . . . . 10 |- ( z = M -> ( A. x e. ~P dom z ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( z ` U. x ) = (Σ^ ` ( z |` x ) ) ) <-> A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( z ` U. x ) = (Σ^ ` ( z |` x ) ) ) ) )
16		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = M -> ( z ` U. x ) = ( M ` U. x ) )
17		reseq1 5390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = M -> ( z |` x ) = ( M |` x ) )
18	17	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = M -> (Σ^ ` ( z |` x ) ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
19	16, 18	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = M -> ( ( z ` U. x ) = (Σ^ ` ( z |` x ) ) <-> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) )
20	19	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = M -> ( ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( z ` U. x ) = (Σ^ ` ( z |` x ) ) ) <-> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) )
21	20	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( z = M -> ( A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( z ` U. x ) = (Σ^ ` ( z |` x ) ) ) <-> A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) )
22	15, 21	bitrd 268	. . . . . . . . 9 |- ( z = M -> ( A. x e. ~P dom z ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( z ` U. x ) = (Σ^ ` ( z |` x ) ) ) <-> A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) )
23	13, 22	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( z = M -> ( ( ( ( z : dom z --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom z e. SAlg ) /\ ( z ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom z ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( z ` U. x ) = (Σ^ ` ( z |` x ) ) ) ) <-> ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) ) )
24	23	elabg 3351	. . . . . . 7 |- ( M e. _V -> ( M e. { z | ( ( ( z : dom z --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom z e. SAlg ) /\ ( z ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom z ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( z ` U. x ) = (Σ^ ` ( z |` x ) ) ) ) } <-> ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) ) )
25	5, 24	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( M e. _V -> ( M e. Meas <-> ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) ) )
26	2, 25	syl 17	. . . . 5 |- ( M e. Meas -> ( M e. Meas <-> ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) ) )
27	1, 26	mpbid 222	. . . 4 |- ( M e. Meas -> ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) )
28	27	simplld 791	. . 3 |- ( M e. Meas -> ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) )
29	27	simplrd 793	. . 3 |- ( M e. Meas -> ( M ` (/) ) = 0 )
30	27	simprd 479	. . 3 |- ( M e. Meas -> A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) )
31	28, 29, 30	jca31 557	. 2 |- ( M e. Meas -> ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) )
32		id 22	. . 3 |- ( ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) -> ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) )
33		fex 6490	. . . . 5 |- ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) -> M e. _V )
34	33, 25	syl 17	. . . 4 |- ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) -> ( M e. Meas <-> ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) ) )
35	34	ad2antrr 762	. . 3 |- ( ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) -> ( M e. Meas <-> ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) ) )
36	32, 35	mpbird 247	. 2 |- ( ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) -> M e. Meas )
37	31, 36	impbii 199	1 |- ( M e. Meas <-> ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   0cc0 9936   +oocpnf 10071   [,]cicc 12178  SAlgcsalg 40528  Σ^{^}csumge0 40579  Meascmea 40666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-mea 40667

This theorem is referenced by:  dmmeasal  40669  meaf  40670  mea0  40671  meadjuni  40674  ismeannd  40684  psmeasure  40688