Theorem ismeannd 40684

Description: Sufficient condition to prove that M is a measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismeannd.sal	|- ( ph -> S e. SAlg )
ismeannd.mf	|- ( ph -> M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
ismeannd.m0	|- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )
ismeannd.iun	|- ( ( ph /\ e : NN --> S /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U_ n e. NN ( e ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ismeannd	|- ( ph -> M e. Meas )

Distinct variable groups:   e, M, n   ph, e, n

Allowed substitution hints:   S( e, n)

Proof of Theorem ismeannd

Dummy variables x y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismeannd.mf	. . . . 5 |- ( ph -> M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
2		fdm 6051	. . . . . . 7 |- ( M : S --> ( 0 [,] +oo ) -> dom M = S )
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom M = S )
4	3	feq2d 6031	. . . . 5 |- ( ph -> ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) <-> M : S --> ( 0 [,] +oo ) ) )
5	1, 4	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) )
6		ismeannd.sal	. . . . 5 |- ( ph -> S e. SAlg )
7	3, 6	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> dom M e. SAlg )
8	5, 7	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) )
9		ismeannd.m0	. . 3 |- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )
10		unieq 4444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> U. x = U. (/) )
11		uni0 4465	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. (/) = (/)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> U. (/) = (/) )
13	10, 12	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> U. x = (/) )
14	13	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( M ` U. x ) = ( M ` (/) ) )
15	14, 9	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> ( M ` U. x ) = 0 )
16		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( M |` x ) = ( M |` (/) ) )
17		res0 5400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M |` (/) ) = (/)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( M |` (/) ) = (/) )
19	16, 18	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( M |` x ) = (/) )
20	19	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` (/) ) )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` (/) ) )
22		sge00 40593	. . . . . . . . . . 11 |- (Σ^ ` (/) ) = 0
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> (Σ^ ` (/) ) = 0 )
24	21, 23	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = 0 )
25	15, 24	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
26	25	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ x = (/) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
27	26	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ x = (/) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
28		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> ( ph /\ x e. ~P dom M ) )
29		simplrr 801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> Disj y e. x y )
30	28, 29	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) )
31		simplrl 800	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> x ~<_ om )
32		neqne 2802	. . . . . . . . 9 |- ( -. x = (/) -> x =/= (/) )
33	32	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> x =/= (/) )
34		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> y = w )
35	34	cbvdisjv 4631	. . . . . . . . . . 11 |- (Disj y e. x y <-> Disj w e. x w )
36	35	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- (Disj y e. x y -> Disj w e. x w )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> Disj w e. x w )
38	37	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> Disj w e. x w )
39	31, 33, 38	nnfoctbdj 40673	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> E. e ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) )
40		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) ) -> ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) )
41		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) ) -> e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) )
42		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) ) -> Disj n e. NN ( e ` n ) )
43		founiiun0 39377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) -> U. x = U_ n e. NN ( e ` n ) )
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) -> ( M ` U. x ) = ( M ` U_ n e. NN ( e ` n ) ) )
45	44	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U. x ) = ( M ` U_ n e. NN ( e ` n ) ) )
46		simplll 798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ph )
47		fof 6115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) -> e : NN --> ( x u. { (/) } ) )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) -> e : NN --> ( x u. { (/) } ) )
49		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ~P dom M -> x C_ dom M )
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> x C_ dom M )
51	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> dom M = S )
52	50, 51	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> x C_ S )
53		0sal 40540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( S e. SAlg -> (/) e. S )
54	6, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> (/) e. S )
55		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( (/) e. S -> { (/) } C_ S )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> { (/) } C_ S )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> { (/) } C_ S )
58	52, 57	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( x u. { (/) } ) C_ S )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) -> ( x u. { (/) } ) C_ S )
60	48, 59	fssd 6057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) -> e : NN --> S )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> e : NN --> S )
62		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> Disj n e. NN ( e ` n ) )
63		ismeannd.iun	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ e : NN --> S /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U_ n e. NN ( e ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) )
64	46, 61, 62, 63	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U_ n e. NN ( e ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) )
65	64	adantllr 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U_ n e. NN ( e ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) )
66	1	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> M = ( y e. S |-> ( M ` y ) ) )
67	66	reseq1d 5395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( M |` x ) = ( ( y e. S |-> ( M ` y ) ) |` x ) )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( M |` x ) = ( ( y e. S |-> ( M ` y ) ) |` x ) )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ (/) e. x ) -> ( M |` x ) = ( ( y e. S |-> ( M ` y ) ) |` x ) )
70	52	resmptd 5452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( ( y e. S |-> ( M ` y ) ) |` x ) = ( y e. x |-> ( M ` y ) ) )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ (/) e. x ) -> ( ( y e. S |-> ( M ` y ) ) |` x ) = ( y e. x |-> ( M ` y ) ) )
72		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( (/) e. x -> { (/) } C_ x )
73		ssequn2 3786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( { (/) } C_ x <-> ( x u. { (/) } ) = x )
74	72, 73	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (/) e. x -> ( x u. { (/) } ) = x )
75	74	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( (/) e. x -> x = ( x u. { (/) } ) )
76	75	mpteq1d 4738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (/) e. x -> ( y e. x |-> ( M ` y ) ) = ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) )
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ (/) e. x ) -> ( y e. x |-> ( M ` y ) ) = ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) )
78	69, 71, 77	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ (/) e. x ) -> ( M |` x ) = ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) )
79	78	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ (/) e. x ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) ) )
80		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x )
81		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> x e. ~P dom M )
82		p0ex 4853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { (/) } e. _V
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> { (/) } e. _V )
84		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x i^i { (/) } ) = (/) <-> -. (/) e. x )
85	84	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. (/) e. x -> ( x i^i { (/) } ) = (/) )
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> ( x i^i { (/) } ) = (/) )
87	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ y e. x ) -> M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
88	52	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ y e. x ) -> y e. S )
89	87, 88	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ y e. x ) -> ( M ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
90	89	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) /\ y e. x ) -> ( M ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
91		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. { (/) } -> y = (/) )
92	91	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. { (/) } -> ( M ` y ) = ( M ` (/) ) )
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. { (/) } ) -> ( M ` y ) = ( M ` (/) ) )
94	1, 54	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( M ` (/) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. { (/) } ) -> ( M ` (/) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
96	93, 95	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. { (/) } ) -> ( M ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
97	96	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) /\ y e. { (/) } ) -> ( M ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
98	80, 81, 83, 86, 90, 97	sge0splitmpt 40628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> (Σ^ ` ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) ) = ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> ( M ` y ) ) ) ) )
99		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = (/) -> ( M ` y ) = ( M ` (/) ) )
100	99	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( M ` y ) = ( M ` (/) ) )
101	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
102	100, 101	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( M ` y ) = 0 )
103	91, 102	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ y e. { (/) } ) -> ( M ` y ) = 0 )
104	103	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( y e. { (/) } |-> ( M ` y ) ) = ( y e. { (/) } |-> 0 ) )
105	104	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> ( M ` y ) ) ) = (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> 0 ) ) )
106		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ y ph
107	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> { (/) } e. _V )
108	106, 107	sge0z 40592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> 0 ) ) = 0 )
109	105, 108	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> ( M ` y ) ) ) = 0 )
110	109	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> ( M ` y ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e 0 ) )
111	110	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> ( M ` y ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e 0 ) )
112		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> x e. ~P dom M )
113	68, 70	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( M |` x ) = ( y e. x |-> ( M ` y ) ) )
114	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
115	114, 52	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( M |` x ) : x --> ( 0 [,] +oo ) )
116	113, 115	feq1dd 39347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( y e. x |-> ( M ` y ) ) : x --> ( 0 [,] +oo ) )
117	112, 116	sge0xrcl 40602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) e. RR* )
118	117	xaddid1d 12074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e 0 ) = (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) )
119	113	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) )
120	119	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
121	118, 120	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e 0 ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e 0 ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
123	98, 111, 122	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) ) )
124	79, 123	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) ) )
125	124	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) ) )
126		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) )
127		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) )
128		nfdisj1 4633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ nDisj n e. NN ( e ` n )
129	127, 128	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) )
130		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( e ` n ) -> ( M ` y ) = ( M ` ( e ` n ) ) )
131		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN e. _V
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> NN e. _V )
133		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) )
134		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) /\ n e. NN ) -> ( e ` n ) = ( e ` n ) )
135	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ y e. ( x u. { (/) } ) ) -> M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
136	58	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ y e. ( x u. { (/) } ) ) -> y e. S )
137	135, 136	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ y e. ( x u. { (/) } ) ) -> ( M ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
138	137	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) /\ y e. ( x u. { (/) } ) ) -> ( M ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
139	46, 102	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) /\ y = (/) ) -> ( M ` y ) = 0 )
140	126, 129, 130, 132, 133, 62, 134, 138, 139	sge0fodjrn 40634	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> (Σ^ ` ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) )
141	125, 140	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
142	141	adantllr 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
143	45, 65, 142	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
144	40, 41, 42, 143	syl21anc 1325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
145	144	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) -> ( ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) )
146	145	exlimdv 1861	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) -> ( E. e ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) )
147	30, 39, 146	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
148	27, 147	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
149	148	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) )
150	149	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) )
151	8, 9, 150	jca31 557	. 2 |- ( ph -> ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) )
152		ismea 40668	. 2 |- ( M e. Meas <-> ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) )
153	151, 152	sylibr 224	1 |- ( ph -> M e. Meas )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   0cc0 9936   +oocpnf 10071   NNcn 11020   +ecxad 11944   [,]cicc 12178  SAlgcsalg 40528  Σ^{^}csumge0 40579  Meascmea 40666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-salg 40529  df-sumge0 40580  df-mea 40667

This theorem is referenced by:  volmea  40691  caratheodory  40742