Theorem ismgmd 41776

Description: Deduce a magma from its properties. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismgmd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
ismgmd.0	|- ( ph -> G e. V )
ismgmd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
ismgmd.c	|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )

Assertion

Ref	Expression
ismgmd	|- ( ph -> G e. Mgm )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, G, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   .+ ( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem ismgmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismgmd.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
2	1	3expb 1266	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) e. B )
3	2	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) e. B )
4		ismgmd.b	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
5		ismgmd.p	. . . . . . 7 |- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
6	5	oveqd 6667	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` G ) y ) )
7	6, 4	eleq12d 2695	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x .+ y ) e. B <-> ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) )
8	4, 7	raleqbidv 3152	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B ( x .+ y ) e. B <-> A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) )
9	4, 8	raleqbidv 3152	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) e. B <-> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) )
10	3, 9	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) )
11		ismgmd.0	. . 3 |- ( ph -> G e. V )
12		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
13		eqid 2622	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
14	12, 13	ismgm 17243	. . 3 |- ( G e. V -> ( G e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) )
15	11, 14	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( G e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) )
16	10, 15	mpbird 247	1 |- ( ph -> G e. Mgm )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Mgmcmgm 17240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-mgm 17242

This theorem is referenced by:  issubmgm2  41790