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Theorem issubmgm2 41790
Description: Submagmas are subsets that are also magmas. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
issubmgm2.b |- B = ( Base ` M )
issubmgm2.h |- H = ( M ↾s S )
Assertion
Ref Expression
issubmgm2 |- ( M e. Mgm -> ( S e. (SubMgm ` M ) <-> ( S C_ B /\ H e. Mgm ) ) )
Proof of Theorem issubmgm2
Dummy variables x a b y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubmgm2.b . . 3 |- B = ( Base ` M )
2 eqid 2622 . . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
31, 2issubmgm 41789 . 2 |- ( M e. Mgm -> ( S e. (SubMgm ` M ) <-> ( S C_ B /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) ) )
4 issubmgm2.h . . . . . . 7 |- H = ( M ↾s S )
54, 1ressbas2 15931 . . . . . 6 |- ( S C_ B -> S = ( Base ` H ) )
65ad2antlr 763 . . . . 5 |- ( ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) -> S = ( Base ` H ) )
7 ovex 6678 . . . . . . 7 |- ( M ↾s S ) e. _V
84, 7eqeltri 2697 . . . . . 6 |- H e. _V
98a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) -> H e. _V )
10 fvex 6201 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` M ) e. _V
111, 10eqeltri 2697 . . . . . . . 8 |- B e. _V
1211ssex 4802 . . . . . . 7 |- ( S C_ B -> S e. _V )
1312ad2antlr 763 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) -> S e. _V )
144, 2ressplusg 15993 . . . . . 6 |- ( S e. _V -> ( +g ` M ) = ( +g ` H ) )
1513, 14syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) -> ( +g ` M ) = ( +g ` H ) )
16 oveq1 6657 . . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( x ( +g ` M ) y ) = ( a ( +g ` M ) y ) )
1716eleq1d 2686 . . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( ( x ( +g ` M ) y ) e. S <-> ( a ( +g ` M ) y ) e. S ) )
18 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( y = b -> ( a ( +g ` M ) y ) = ( a ( +g ` M ) b ) )
1918eleq1d 2686 . . . . . . . . 9 |- ( y = b -> ( ( a ( +g ` M ) y ) e. S <-> ( a ( +g ` M ) b ) e. S ) )
2017, 19rspc2v 3322 . . . . . . . 8 |- ( ( a e. S /\ b e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S -> ( a ( +g ` M ) b ) e. S ) )
2120com12 32 . . . . . . 7 |- ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S -> ( ( a e. S /\ b e. S ) -> ( a ( +g ` M ) b ) e. S ) )
2221adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) -> ( ( a e. S /\ b e. S ) -> ( a ( +g ` M ) b ) e. S ) )
23223impib 1262 . . . . 5 |- ( ( ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) /\ a e. S /\ b e. S ) -> ( a ( +g ` M ) b ) e. S )
246, 9, 15, 23ismgmd 41776 . . . 4 |- ( ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) -> H e. Mgm )
25 simplr 792 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> H e. Mgm )
26 simprl 794 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. S )
275ad3antlr 767 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> S = ( Base ` H ) )
2826, 27eleqtrd 2703 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. ( Base ` H ) )
29 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> y e. S )
3029adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. S )
3130, 27eleqtrd 2703 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. ( Base ` H ) )
32 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
33 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( +g ` H ) = ( +g ` H )
3432, 33mgmcl 17245 . . . . . . 7 |- ( ( H e. Mgm /\ x e. ( Base ` H ) /\ y e. ( Base ` H ) ) -> ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) )
3525, 28, 31, 34syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) )
3612ad2antlr 763 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> S e. _V )
3736, 14syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> ( +g ` M ) = ( +g ` H ) )
3837oveqdr 6674 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) = ( x ( +g ` H ) y ) )
3935, 38, 273eltr4d 2716 . . . . 5 |- ( ( ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. S )
4039ralrimivva 2971 . . . 4 |- ( ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S )
4124, 40impbida 877 . . 3 |- ( ( M e. Mgm /\ S C_ B ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S <-> H e. Mgm ) )
4241pm5.32da 673 . 2 |- ( M e. Mgm -> ( ( S C_ B /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) <-> ( S C_ B /\ H e. Mgm ) ) )
433, 42bitrd 268 1 |- ( M e. Mgm -> ( S e. (SubMgm ` M ) <-> ( S C_ B /\ H e. Mgm ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾s cress 15858   +g cplusg 15941  Mgmcmgm 17240  SubMgmcsubmgm 41778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mgm 17242  df-submgm 41780
This theorem is referenced by:  submgmss  41792  submgmid  41793  submgmmgm  41795  subsubmgm  41797
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