Theorem mgmpropd 41775

Description: If two structures have the same (nonempty) base set, and the values of their group (addition) operations are equal for all pairs of elements of the base set, one is a magma iff the other one is. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmpropd.k	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
mgmpropd.l	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
mgmpropd.b	|- ( ph -> B =/= (/) )
mgmpropd.p	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
mgmpropd	|- ( ph -> ( K e. Mgm <-> L e. Mgm ) )

Distinct variable groups:   x, y, K   x, L, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem mgmpropd

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ph )
2		mgmpropd.k	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
3	2	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Base ` K ) = B )
4	3	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` K ) <-> x e. B ) )
5	4	biimpcd 239	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( Base ` K ) -> ( ph -> x e. B ) )
6	5	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( ph -> x e. B ) )
7	6	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> x e. B )
8	3	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. ( Base ` K ) <-> y e. B ) )
9	8	biimpd 219	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( Base ` K ) -> y e. B ) )
10	9	adantld 483	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> y e. B ) )
11	10	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> y e. B )
12		mgmpropd.p	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
13	1, 7, 11, 12	syl12anc 1324	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
14	13	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) <-> ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` K ) ) )
15	14	2ralbidva 2988	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) <-> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` K ) ) )
16		mgmpropd.l	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
17	2, 16	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` K ) = ( Base ` L ) )
18	17	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` K ) <-> ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) ) )
19	17, 18	raleqbidv 3152	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` K ) <-> A. y e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) ) )
20	17, 19	raleqbidv 3152	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` K ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) ) )
21	15, 20	bitrd 268	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) ) )
22		mgmpropd.b	. . 3 |- ( ph -> B =/= (/) )
23		n0 3931	. . . 4 |- ( B =/= (/) <-> E. a a e. B )
24	2	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ph -> ( a e. B <-> a e. ( Base ` K ) ) )
25		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
26		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
27	25, 26	ismgmn0 17244	. . . . . 6 |- ( a e. ( Base ` K ) -> ( K e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) ) )
28	24, 27	syl6bi 243	. . . . 5 |- ( ph -> ( a e. B -> ( K e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) ) ) )
29	28	exlimdv 1861	. . . 4 |- ( ph -> ( E. a a e. B -> ( K e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) ) ) )
30	23, 29	syl5bi 232	. . 3 |- ( ph -> ( B =/= (/) -> ( K e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) ) ) )
31	22, 30	mpd 15	. 2 |- ( ph -> ( K e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) ) )
32	16	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ph -> ( a e. B <-> a e. ( Base ` L ) ) )
33		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
34		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
35	33, 34	ismgmn0 17244	. . . . . 6 |- ( a e. ( Base ` L ) -> ( L e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) ) )
36	32, 35	syl6bi 243	. . . . 5 |- ( ph -> ( a e. B -> ( L e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) ) ) )
37	36	exlimdv 1861	. . . 4 |- ( ph -> ( E. a a e. B -> ( L e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) ) ) )
38	23, 37	syl5bi 232	. . 3 |- ( ph -> ( B =/= (/) -> ( L e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) ) ) )
39	22, 38	mpd 15	. 2 |- ( ph -> ( L e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) ) )
40	21, 31, 39	3bitr4d 300	1 |- ( ph -> ( K e. Mgm <-> L e. Mgm ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Mgmcmgm 17240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789  ax-pow 4843

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-mgm 17242

This theorem is referenced by:  mgmhmpropd  41785