Theorem ismndo2 33673

Description: The predicate "is a monoid". (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ismndo2.1	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
ismndo2	|- ( G e. A -> ( G e. MndOp <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, G, y, z   x, X, y, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)

Proof of Theorem ismndo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismndo2.1	. . . 4 |- X = ran G
2		mndomgmid 33670	. . . . 5 |- ( G e. MndOp -> G e. ( Magma i^i ExId ) )
3		rngopidOLD 33652	. . . . 5 |- ( G e. ( Magma i^i ExId ) -> ran G = dom dom G )
4	2, 3	syl 17	. . . 4 |- ( G e. MndOp -> ran G = dom dom G )
5	1, 4	syl5eq 2668	. . 3 |- ( G e. MndOp -> X = dom dom G )
6	5	a1i 11	. 2 |- ( G e. A -> ( G e. MndOp -> X = dom dom G ) )
7		fdm 6051	. . . . . 6 |- ( G : ( X X. X ) --> X -> dom G = ( X X. X ) )
8	7	dmeqd 5326	. . . . 5 |- ( G : ( X X. X ) --> X -> dom dom G = dom ( X X. X ) )
9		dmxpid 5345	. . . . 5 |- dom ( X X. X ) = X
10	8, 9	syl6req 2673	. . . 4 |- ( G : ( X X. X ) --> X -> X = dom dom G )
11	10	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) -> X = dom dom G )
12	11	a1i 11	. 2 |- ( G e. A -> ( ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) -> X = dom dom G ) )
13		eqid 2622	. . . 4 |- dom dom G = dom dom G
14	13	ismndo1 33672	. . 3 |- ( G e. A -> ( G e. MndOp <-> ( G : ( dom dom G X. dom dom G ) --> dom dom G /\ A. x e. dom dom G A. y e. dom dom G A. z e. dom dom G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. dom dom G A. y e. dom dom G ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) ) )
15		xpid11 5347	. . . . . . 7 |- ( ( X X. X ) = ( dom dom G X. dom dom G ) <-> X = dom dom G )
16	15	biimpri 218	. . . . . 6 |- ( X = dom dom G -> ( X X. X ) = ( dom dom G X. dom dom G ) )
17		feq23 6029	. . . . . 6 |- ( ( ( X X. X ) = ( dom dom G X. dom dom G ) /\ X = dom dom G ) -> ( G : ( X X. X ) --> X <-> G : ( dom dom G X. dom dom G ) --> dom dom G ) )
18	16, 17	mpancom 703	. . . . 5 |- ( X = dom dom G -> ( G : ( X X. X ) --> X <-> G : ( dom dom G X. dom dom G ) --> dom dom G ) )
19		raleq 3138	. . . . . . 7 |- ( X = dom dom G -> ( A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. z e. dom dom G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
20	19	raleqbi1dv 3146	. . . . . 6 |- ( X = dom dom G -> ( A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. y e. dom dom G A. z e. dom dom G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
21	20	raleqbi1dv 3146	. . . . 5 |- ( X = dom dom G -> ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. x e. dom dom G A. y e. dom dom G A. z e. dom dom G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
22		raleq 3138	. . . . . 6 |- ( X = dom dom G -> ( A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) <-> A. y e. dom dom G ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) )
23	22	rexeqbi1dv 3147	. . . . 5 |- ( X = dom dom G -> ( E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) <-> E. x e. dom dom G A. y e. dom dom G ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) )
24	18, 21, 23	3anbi123d 1399	. . . 4 |- ( X = dom dom G -> ( ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) <-> ( G : ( dom dom G X. dom dom G ) --> dom dom G /\ A. x e. dom dom G A. y e. dom dom G A. z e. dom dom G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. dom dom G A. y e. dom dom G ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) ) )
25	24	bibi2d 332	. . 3 |- ( X = dom dom G -> ( ( G e. MndOp <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) ) <-> ( G e. MndOp <-> ( G : ( dom dom G X. dom dom G ) --> dom dom G /\ A. x e. dom dom G A. y e. dom dom G A. z e. dom dom G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. dom dom G A. y e. dom dom G ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) ) ) )
26	14, 25	syl5ibrcom 237	. 2 |- ( G e. A -> ( X = dom dom G -> ( G e. MndOp <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) ) ) )
27	6, 12, 26	pm5.21ndd 369	1 |- ( G e. A -> ( G e. MndOp <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884  (class class class)co 6650   ExId cexid 33643   Magmacmagm 33647  MndOpcmndo 33665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896  df-ov 6653  df-ass 33642  df-exid 33644  df-mgmOLD 33648  df-sgrOLD 33660  df-mndo 33666

This theorem is referenced by:  grpomndo  33674