Theorem grpomndo 33674

Description: A group is a monoid. (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
grpomndo	|- ( G e. GrpOp -> G e. MndOp )

Proof of Theorem grpomndo

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ran G = ran G
2	1	isgrpo 27351	. . . 4 |- ( G e. GrpOp -> ( G e. GrpOp <-> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. w e. ran G A. x e. ran G ( ( w G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = w ) ) ) )
3	2	biimpd 219	. . 3 |- ( G e. GrpOp -> ( G e. GrpOp -> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. w e. ran G A. x e. ran G ( ( w G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = w ) ) ) )
4	1	grpoidinv 27362	. . . . . . . 8 |- ( G e. GrpOp -> E. x e. ran G A. y e. ran G ( ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) /\ E. w e. ran G ( ( w G y ) = x /\ ( y G w ) = x ) ) )
5		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) /\ E. w e. ran G ( ( w G y ) = x /\ ( y G w ) = x ) ) -> ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) )
6	5	ralimi 2952	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. ran G ( ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) /\ E. w e. ran G ( ( w G y ) = x /\ ( y G w ) = x ) ) -> A. y e. ran G ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) )
7	6	reximi 3011	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. ran G A. y e. ran G ( ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) /\ E. w e. ran G ( ( w G y ) = x /\ ( y G w ) = x ) ) -> E. x e. ran G A. y e. ran G ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) )
8	1	ismndo2 33673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. GrpOp -> ( G e. MndOp <-> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. ran G A. y e. ran G ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) ) )
9	8	biimprcd 240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. x e. ran G A. y e. ran G ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) ) -> ( G e. GrpOp -> G e. MndOp ) )
10	9	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G -> ( A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) -> ( E. x e. ran G A. y e. ran G ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) -> ( G e. GrpOp -> G e. MndOp ) ) ) )
11	10	impcom 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ G : ( ran G X. ran G ) --> ran G ) -> ( E. x e. ran G A. y e. ran G ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) -> ( G e. GrpOp -> G e. MndOp ) ) )
12	11	com3l 89	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. ran G A. y e. ran G ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) -> ( G e. GrpOp -> ( ( A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ G : ( ran G X. ran G ) --> ran G ) -> G e. MndOp ) ) )
13	7, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. ran G A. y e. ran G ( ( ( x G y ) = y /\ ( y G x ) = y ) /\ E. w e. ran G ( ( w G y ) = x /\ ( y G w ) = x ) ) -> ( G e. GrpOp -> ( ( A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ G : ( ran G X. ran G ) --> ran G ) -> G e. MndOp ) ) )
14	4, 13	mpcom 38	. . . . . . 7 |- ( G e. GrpOp -> ( ( A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ G : ( ran G X. ran G ) --> ran G ) -> G e. MndOp ) )
15	14	expdcom 455	. . . . . 6 |- ( A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) -> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G -> ( G e. GrpOp -> G e. MndOp ) ) )
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( E. w e. ran G A. x e. ran G ( ( w G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = w ) -> ( A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) -> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G -> ( G e. GrpOp -> G e. MndOp ) ) ) )
17	16	com13 88	. . . 4 |- ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G -> ( A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) -> ( E. w e. ran G A. x e. ran G ( ( w G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = w ) -> ( G e. GrpOp -> G e. MndOp ) ) ) )
18	17	3imp 1256	. . 3 |- ( ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. w e. ran G A. x e. ran G ( ( w G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = w ) ) -> ( G e. GrpOp -> G e. MndOp ) )
19	3, 18	syli 39	. 2 |- ( G e. GrpOp -> ( G e. GrpOp -> G e. MndOp ) )
20	19	pm2.43i 52	1 |- ( G e. GrpOp -> G e. MndOp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   X. cxp 5112   ran crn 5115   -->wf 5884  (class class class)co 6650   GrpOpcgr 27343  MndOpcmndo 33665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896  df-ov 6653  df-grpo 27347  df-ass 33642  df-exid 33644  df-mgmOLD 33648  df-sgrOLD 33660  df-mndo 33666

This theorem is referenced by:  isdrngo2  33757