Theorem isnvlem 27465

Description: Lemma for isnv 27467. (Contributed by NM, 11-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnvlem.1	|- X = ran G
isnvlem.2	|- Z = (GId ` G )

Assertion

Ref	Expression
isnvlem	|- ( ( G e. _V /\ S e. _V /\ N e. _V ) -> ( <. <. G , S >. , N >. e. NrmCVec <-> ( <. G , S >. e. CVecOLD /\ N : X --> RR /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 -> x = Z ) /\ A. y e. CC ( N ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` x ) ) /\ A. y e. X ( N ` ( x G y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, G   x, N, y   x, S, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   Z( x, y)

Proof of Theorem isnvlem

Dummy variables g n s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nv 27447	. . 3 |- NrmCVec = { <. <. g , s >. , n >. | ( <. g , s >. e. CVecOLD /\ n : ran g --> RR /\ A. x e. ran g ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = (GId ` g ) ) /\ A. y e. CC ( n ` ( y s x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) /\ A. y e. ran g ( n ` ( x g y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) ) }
2	1	eleq2i 2693	. 2 |- ( <. <. G , S >. , N >. e. NrmCVec <-> <. <. G , S >. , N >. e. { <. <. g , s >. , n >. | ( <. g , s >. e. CVecOLD /\ n : ran g --> RR /\ A. x e. ran g ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = (GId ` g ) ) /\ A. y e. CC ( n ` ( y s x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) /\ A. y e. ran g ( n ` ( x g y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) ) } )
3		opeq1 4402	. . . . 5 |- ( g = G -> <. g , s >. = <. G , s >. )
4	3	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( g = G -> ( <. g , s >. e. CVecOLD <-> <. G , s >. e. CVecOLD ) )
5		rneq 5351	. . . . . 6 |- ( g = G -> ran g = ran G )
6		isnvlem.1	. . . . . 6 |- X = ran G
7	5, 6	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( g = G -> ran g = X )
8	7	feq2d 6031	. . . 4 |- ( g = G -> ( n : ran g --> RR <-> n : X --> RR ) )
9		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> (GId ` g ) = (GId ` G ) )
10		isnvlem.2	. . . . . . . . 9 |- Z = (GId ` G )
11	9, 10	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> (GId ` g ) = Z )
12	11	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( x = (GId ` g ) <-> x = Z ) )
13	12	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = (GId ` g ) ) <-> ( ( n ` x ) = 0 -> x = Z ) ) )
14		oveq 6656	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( x g y ) = ( x G y ) )
15	14	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( n ` ( x g y ) ) = ( n ` ( x G y ) ) )
16	15	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( ( n ` ( x g y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) <-> ( n ` ( x G y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) )
17	7, 16	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( A. y e. ran g ( n ` ( x g y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) <-> A. y e. X ( n ` ( x G y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) )
18	13, 17	3anbi13d 1401	. . . . 5 |- ( g = G -> ( ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = (GId ` g ) ) /\ A. y e. CC ( n ` ( y s x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) /\ A. y e. ran g ( n ` ( x g y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) <-> ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = Z ) /\ A. y e. CC ( n ` ( y s x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) /\ A. y e. X ( n ` ( x G y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) ) )
19	7, 18	raleqbidv 3152	. . . 4 |- ( g = G -> ( A. x e. ran g ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = (GId ` g ) ) /\ A. y e. CC ( n ` ( y s x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) /\ A. y e. ran g ( n ` ( x g y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) <-> A. x e. X ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = Z ) /\ A. y e. CC ( n ` ( y s x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) /\ A. y e. X ( n ` ( x G y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) ) )
20	4, 8, 19	3anbi123d 1399	. . 3 |- ( g = G -> ( ( <. g , s >. e. CVecOLD /\ n : ran g --> RR /\ A. x e. ran g ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = (GId ` g ) ) /\ A. y e. CC ( n ` ( y s x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) /\ A. y e. ran g ( n ` ( x g y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) ) <-> ( <. G , s >. e. CVecOLD /\ n : X --> RR /\ A. x e. X ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = Z ) /\ A. y e. CC ( n ` ( y s x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) /\ A. y e. X ( n ` ( x G y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) ) ) )
21		opeq2 4403	. . . . 5 |- ( s = S -> <. G , s >. = <. G , S >. )
22	21	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( s = S -> ( <. G , s >. e. CVecOLD <-> <. G , S >. e. CVecOLD ) )
23		oveq 6656	. . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( y s x ) = ( y S x ) )
24	23	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( n ` ( y s x ) ) = ( n ` ( y S x ) ) )
25	24	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( ( n ` ( y s x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) <-> ( n ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) ) )
26	25	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( A. y e. CC ( n ` ( y s x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) <-> A. y e. CC ( n ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) ) )
27	26	3anbi2d 1404	. . . . 5 |- ( s = S -> ( ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = Z ) /\ A. y e. CC ( n ` ( y s x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) /\ A. y e. X ( n ` ( x G y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) <-> ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = Z ) /\ A. y e. CC ( n ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) /\ A. y e. X ( n ` ( x G y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) ) )
28	27	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( s = S -> ( A. x e. X ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = Z ) /\ A. y e. CC ( n ` ( y s x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) /\ A. y e. X ( n ` ( x G y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) <-> A. x e. X ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = Z ) /\ A. y e. CC ( n ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) /\ A. y e. X ( n ` ( x G y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) ) )
29	22, 28	3anbi13d 1401	. . 3 |- ( s = S -> ( ( <. G , s >. e. CVecOLD /\ n : X --> RR /\ A. x e. X ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = Z ) /\ A. y e. CC ( n ` ( y s x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) /\ A. y e. X ( n ` ( x G y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) ) <-> ( <. G , S >. e. CVecOLD /\ n : X --> RR /\ A. x e. X ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = Z ) /\ A. y e. CC ( n ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) /\ A. y e. X ( n ` ( x G y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) ) ) )
30		feq1 6026	. . . 4 |- ( n = N -> ( n : X --> RR <-> N : X --> RR ) )
31		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( n ` x ) = ( N ` x ) )
32	31	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( n = N -> ( ( n ` x ) = 0 <-> ( N ` x ) = 0 ) )
33	32	imbi1d 331	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = Z ) <-> ( ( N ` x ) = 0 -> x = Z ) ) )
34		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( n ` ( y S x ) ) = ( N ` ( y S x ) ) )
35	31	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` x ) ) )
36	34, 35	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( n = N -> ( ( n ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) <-> ( N ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` x ) ) ) )
37	36	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( A. y e. CC ( n ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) <-> A. y e. CC ( N ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` x ) ) ) )
38		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( n ` ( x G y ) ) = ( N ` ( x G y ) ) )
39		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( n = N -> ( n ` y ) = ( N ` y ) )
40	31, 39	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) = ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) )
41	38, 40	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( n = N -> ( ( n ` ( x G y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) <-> ( N ` ( x G y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) )
42	41	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( A. y e. X ( n ` ( x G y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) <-> A. y e. X ( N ` ( x G y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) )
43	33, 37, 42	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( n = N -> ( ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = Z ) /\ A. y e. CC ( n ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) /\ A. y e. X ( n ` ( x G y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) <-> ( ( ( N ` x ) = 0 -> x = Z ) /\ A. y e. CC ( N ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` x ) ) /\ A. y e. X ( N ` ( x G y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) )
44	43	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( n = N -> ( A. x e. X ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = Z ) /\ A. y e. CC ( n ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) /\ A. y e. X ( n ` ( x G y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) <-> A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 -> x = Z ) /\ A. y e. CC ( N ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` x ) ) /\ A. y e. X ( N ` ( x G y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) )
45	30, 44	3anbi23d 1402	. . 3 |- ( n = N -> ( ( <. G , S >. e. CVecOLD /\ n : X --> RR /\ A. x e. X ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = Z ) /\ A. y e. CC ( n ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) /\ A. y e. X ( n ` ( x G y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) ) <-> ( <. G , S >. e. CVecOLD /\ N : X --> RR /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 -> x = Z ) /\ A. y e. CC ( N ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` x ) ) /\ A. y e. X ( N ` ( x G y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) )
46	20, 29, 45	eloprabg 6748	. 2 |- ( ( G e. _V /\ S e. _V /\ N e. _V ) -> ( <. <. G , S >. , N >. e. { <. <. g , s >. , n >. | ( <. g , s >. e. CVecOLD /\ n : ran g --> RR /\ A. x e. ran g ( ( ( n ` x ) = 0 -> x = (GId ` g ) ) /\ A. y e. CC ( n ` ( y s x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( n ` x ) ) /\ A. y e. ran g ( n ` ( x g y ) ) <_ ( ( n ` x ) + ( n ` y ) ) ) ) } <-> ( <. G , S >. e. CVecOLD /\ N : X --> RR /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 -> x = Z ) /\ A. y e. CC ( N ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` x ) ) /\ A. y e. X ( N ` ( x G y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) )
47	2, 46	syl5bb 272	1 |- ( ( G e. _V /\ S e. _V /\ N e. _V ) -> ( <. <. G , S >. , N >. e. NrmCVec <-> ( <. G , S >. e. CVecOLD /\ N : X --> RR /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 -> x = Z ) /\ A. y e. CC ( N ` ( y S x ) ) = ( ( abs ` y ) x. ( N ` x ) ) /\ A. y e. X ( N ` ( x G y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   {coprab 6651   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   abscabs 13974  GIdcgi 27344   CVecOLDcvc 27413   NrmCVeccnv 27439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-nv 27447

This theorem is referenced by:  isnv  27467