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Theorem neik0pk1imk0 38345
Description: Kuratowski's K0' and K1 axioms imply K0. Neighborhood version. (Contributed by RP, 3-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
neik0pk1imk0.bex |- ( ph -> B e. V )
neik0pk1imk0.n |- ( ph -> N e. ( ~P ~P B ^m B ) )
neik0pk1imk0.k0p |- ( ph -> A. x e. B ( N ` x ) =/= (/) )
neik0pk1imk0.k1 |- ( ph -> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) )
Assertion
Ref Expression
neik0pk1imk0 |- ( ph -> A. x e. B B e. ( N ` x ) )
Distinct variable groups:   B, s, t   N, s, t   ph, s, x   x, t
Allowed substitution hints:   ph( t)   B( x)   N( x)   V( x, t, s)
Proof of Theorem neik0pk1imk0
StepHypRef Expression
1 neik0pk1imk0.k1 . . . 4 |- ( ph -> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) )
2 neik0pk1imk0.bex . . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. V )
3 pwidg 4173 . . . . . . . 8 |- ( B e. V -> B e. ~P B )
42, 3syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ~P B )
5 sseq2 3627 . . . . . . . . . 10 |- ( t = B -> ( s C_ t <-> s C_ B ) )
65anbi2d 740 . . . . . . . . 9 |- ( t = B -> ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) <-> ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) ) )
7 eleq1 2689 . . . . . . . . 9 |- ( t = B -> ( t e. ( N ` x ) <-> B e. ( N ` x ) ) )
86, 7imbi12d 334 . . . . . . . 8 |- ( t = B -> ( ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) <-> ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) -> B e. ( N ` x ) ) ) )
98rspcv 3305 . . . . . . 7 |- ( B e. ~P B -> ( A. t e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) -> ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) -> B e. ( N ` x ) ) ) )
104, 9syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> ( A. t e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) -> ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) -> B e. ( N ` x ) ) ) )
1110ralimdv 2963 . . . . 5 |- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) -> A. s e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) -> B e. ( N ` x ) ) ) )
1211ralimdv 2963 . . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ t ) -> t e. ( N ` x ) ) -> A. x e. B A. s e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) -> B e. ( N ` x ) ) ) )
131, 12mpd 15 . . 3 |- ( ph -> A. x e. B A. s e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) -> B e. ( N ` x ) ) )
14 r19.23v 3023 . . . . . 6 |- ( A. s e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) -> B e. ( N ` x ) ) <-> ( E. s e. ~P B ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) -> B e. ( N ` x ) ) )
1514biimpi 206 . . . . 5 |- ( A. s e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) -> B e. ( N ` x ) ) -> ( E. s e. ~P B ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) -> B e. ( N ` x ) ) )
1615a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> ( A. s e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) -> B e. ( N ` x ) ) -> ( E. s e. ~P B ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) -> B e. ( N ` x ) ) ) )
1716ralimdv 2963 . . 3 |- ( ph -> ( A. x e. B A. s e. ~P B ( ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) -> B e. ( N ` x ) ) -> A. x e. B ( E. s e. ~P B ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) -> B e. ( N ` x ) ) ) )
1813, 17mpd 15 . 2 |- ( ph -> A. x e. B ( E. s e. ~P B ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) -> B e. ( N ` x ) ) )
19 neik0pk1imk0.k0p . . 3 |- ( ph -> A. x e. B ( N ` x ) =/= (/) )
20 neik0pk1imk0.n . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ( ~P ~P B ^m B ) )
21 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ~P ~P B ^m B ) -> N : B --> ~P ~P B )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N : B --> ~P ~P B )
2322ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( N ` x ) e. ~P ~P B )
2423elpwid 4170 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( N ` x ) C_ ~P B )
2524sseld 3602 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( s e. ( N ` x ) -> s e. ~P B ) )
2625ancrd 577 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( s e. ( N ` x ) -> ( s e. ~P B /\ s e. ( N ` x ) ) ) )
2726eximdv 1846 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( E. s s e. ( N ` x ) -> E. s ( s e. ~P B /\ s e. ( N ` x ) ) ) )
28 n0 3931 . . . . . . . 8 |- ( ( N ` x ) =/= (/) <-> E. s s e. ( N ` x ) )
29 df-rex 2918 . . . . . . . 8 |- ( E. s e. ~P B s e. ( N ` x ) <-> E. s ( s e. ~P B /\ s e. ( N ` x ) ) )
3027, 28, 293imtr4g 285 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( N ` x ) =/= (/) -> E. s e. ~P B s e. ( N ` x ) ) )
3130imp 445 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( N ` x ) =/= (/) ) -> E. s e. ~P B s e. ( N ` x ) )
32 elpwi 4168 . . . . . . . . . 10 |- ( s e. ~P B -> s C_ B )
3325, 32syl6 35 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( s e. ( N ` x ) -> s C_ B ) )
3433alrimiv 1855 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> A. s ( s e. ( N ` x ) -> s C_ B ) )
35 alral 2928 . . . . . . . 8 |- ( A. s ( s e. ( N ` x ) -> s C_ B ) -> A. s e. ~P B ( s e. ( N ` x ) -> s C_ B ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> A. s e. ~P B ( s e. ( N ` x ) -> s C_ B ) )
3736adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( N ` x ) =/= (/) ) -> A. s e. ~P B ( s e. ( N ` x ) -> s C_ B ) )
3831, 37r19.29imd 3074 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( N ` x ) =/= (/) ) -> E. s e. ~P B ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) )
3938ex 450 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( N ` x ) =/= (/) -> E. s e. ~P B ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) ) )
4039ralimdva 2962 . . 3 |- ( ph -> ( A. x e. B ( N ` x ) =/= (/) -> A. x e. B E. s e. ~P B ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) ) )
4119, 40mpd 15 . 2 |- ( ph -> A. x e. B E. s e. ~P B ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) )
42 ralim 2948 . 2 |- ( A. x e. B ( E. s e. ~P B ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) -> B e. ( N ` x ) ) -> ( A. x e. B E. s e. ~P B ( s e. ( N ` x ) /\ s C_ B ) -> A. x e. B B e. ( N ` x ) ) )
4318, 41, 42sylc 65 1 |- ( ph -> A. x e. B B e. ( N ` x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859
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