Theorem ispos 16947

Description: The predicate "is a poset." (Contributed by NM, 18-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ispos.b	|- B = ( Base ` K )
ispos.l	|- .<_ = ( le ` K )

Assertion

Ref	Expression
ispos	|- ( K e. Poset <-> ( K e. _V /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, .<_ , y, z

Allowed substitution hints:   K( x, y, z)

Proof of Theorem ispos

Dummy variables p b r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( p = K -> ( Base ` p ) = ( Base ` K ) )
2		ispos.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
3	1, 2	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( p = K -> ( Base ` p ) = B )
4	3	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( p = K -> ( b = ( Base ` p ) <-> b = B ) )
5		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( p = K -> ( le ` p ) = ( le ` K ) )
6		ispos.l	. . . . . . 7 |- .<_ = ( le ` K )
7	5, 6	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( p = K -> ( le ` p ) = .<_ )
8	7	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( p = K -> ( r = ( le ` p ) <-> r = .<_ ) )
9	4, 8	3anbi12d 1400	. . . 4 |- ( p = K -> ( ( b = ( Base ` p ) /\ r = ( le ` p ) /\ A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r x ) -> x = y ) /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) ) <-> ( b = B /\ r = .<_ /\ A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r x ) -> x = y ) /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) ) ) )
10	9	2exbidv 1852	. . 3 |- ( p = K -> ( E. b E. r ( b = ( Base ` p ) /\ r = ( le ` p ) /\ A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r x ) -> x = y ) /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) ) <-> E. b E. r ( b = B /\ r = .<_ /\ A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r x ) -> x = y ) /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) ) ) )
11		df-poset 16946	. . 3 |- Poset = { p | E. b E. r ( b = ( Base ` p ) /\ r = ( le ` p ) /\ A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r x ) -> x = y ) /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) ) }
12	10, 11	elab4g 3355	. 2 |- ( K e. Poset <-> ( K e. _V /\ E. b E. r ( b = B /\ r = .<_ /\ A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r x ) -> x = y ) /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) ) ) )
13		fvex 6201	. . . . 5 |- ( Base ` K ) e. _V
14	2, 13	eqeltri 2697	. . . 4 |- B e. _V
15		fvex 6201	. . . . 5 |- ( le ` K ) e. _V
16	6, 15	eqeltri 2697	. . . 4 |- .<_ e. _V
17		raleq 3138	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r x ) -> x = y ) /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) <-> A. z e. B ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r x ) -> x = y ) /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) ) )
18	17	raleqbi1dv 3146	. . . . 5 |- ( b = B -> ( A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r x ) -> x = y ) /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) <-> A. y e. B A. z e. B ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r x ) -> x = y ) /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) ) )
19	18	raleqbi1dv 3146	. . . 4 |- ( b = B -> ( A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r x ) -> x = y ) /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r x ) -> x = y ) /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) ) )
20		breq 4655	. . . . . . 7 |- ( r = .<_ -> ( x r x <-> x .<_ x ) )
21		breq 4655	. . . . . . . . 9 |- ( r = .<_ -> ( x r y <-> x .<_ y ) )
22		breq 4655	. . . . . . . . 9 |- ( r = .<_ -> ( y r x <-> y .<_ x ) )
23	21, 22	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( r = .<_ -> ( ( x r y /\ y r x ) <-> ( x .<_ y /\ y .<_ x ) ) )
24	23	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( r = .<_ -> ( ( ( x r y /\ y r x ) -> x = y ) <-> ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) ) )
25		breq 4655	. . . . . . . . 9 |- ( r = .<_ -> ( y r z <-> y .<_ z ) )
26	21, 25	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( r = .<_ -> ( ( x r y /\ y r z ) <-> ( x .<_ y /\ y .<_ z ) ) )
27		breq 4655	. . . . . . . 8 |- ( r = .<_ -> ( x r z <-> x .<_ z ) )
28	26, 27	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( r = .<_ -> ( ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) <-> ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) )
29	20, 24, 28	3anbi123d 1399	. . . . . 6 |- ( r = .<_ -> ( ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r x ) -> x = y ) /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) <-> ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )
30	29	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( r = .<_ -> ( A. z e. B ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r x ) -> x = y ) /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) <-> A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )
31	30	2ralbidv 2989	. . . 4 |- ( r = .<_ -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r x ) -> x = y ) /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )
32	14, 16, 19, 31	ceqsex2v 3245	. . 3 |- ( E. b E. r ( b = B /\ r = .<_ /\ A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r x ) -> x = y ) /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) )
33	32	anbi2i 730	. 2 |- ( ( K e. _V /\ E. b E. r ( b = B /\ r = .<_ /\ A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r x ) -> x = y ) /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) ) ) <-> ( K e. _V /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )
34	12, 33	bitri 264	1 |- ( K e. Poset <-> ( K e. _V /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-poset 16946

This theorem is referenced by:  ispos2  16948  posi  16950  0pos  16954  isposd  16955  isposi  16956  pospropd  17134  resspos  29659