Theorem isring 18551

Description: The predicate "is a (unital) ring." Definition of ring with unit in [Schechter] p. 187. (Contributed by NM, 18-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isring.b	|- B = ( Base ` R )
isring.g	|- G = (mulGrp ` R )
isring.p	|- .+ = ( +g ` R )
isring.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
isring	|- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, .+ , y, z   x, R, y, z   x, .x. , y, z

Allowed substitution hints:   G( x, y, z)

Proof of Theorem isring

Dummy variables p b r t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( r = R -> (mulGrp ` r ) = (mulGrp ` R ) )
2		isring.g	. . . . . 6 |- G = (mulGrp ` R )
3	1, 2	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( r = R -> (mulGrp ` r ) = G )
4	3	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( r = R -> ( (mulGrp ` r ) e. Mnd <-> G e. Mnd ) )
5		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( r = R -> ( Base ` r ) e. _V )
6		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = ( Base ` R ) )
7		isring.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
8	6, 7	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = B )
9		fvexd 6203	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( +g ` r ) e. _V )
10		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> r = R )
11	10	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( +g ` r ) = ( +g ` R ) )
12		isring.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` R )
13	11, 12	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( +g ` r ) = .+ )
14		fvexd 6203	. . . . . . 7 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( .r ` r ) e. _V )
15		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> r = R )
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
17		isring.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` R )
18	16, 17	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( .r ` r ) = .x. )
19		simpllr 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> b = B )
20		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> t = .x. )
21		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> x = x )
22		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> p = .+ )
23	22	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( y p z ) = ( y .+ z ) )
24	20, 21, 23	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x t ( y p z ) ) = ( x .x. ( y .+ z ) ) )
25	20	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x t y ) = ( x .x. y ) )
26	20	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x t z ) = ( x .x. z ) )
27	22, 25, 26	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x t y ) p ( x t z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
28	24, 27	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) <-> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
29	22	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( x p y ) = ( x .+ y ) )
30		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> z = z )
31	20, 29, 30	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x p y ) t z ) = ( ( x .+ y ) .x. z ) )
32	20	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( y t z ) = ( y .x. z ) )
33	22, 26, 32	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( x t z ) p ( y t z ) ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
34	31, 33	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) <-> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
35	28, 34	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
36	19, 35	raleqbidv 3152	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
37	19, 36	raleqbidv 3152	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
38	19, 37	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
39	14, 18, 38	sbcied2 3473	. . . . . 6 |- ( ( ( r = R /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
40	9, 13, 39	sbcied2 3473	. . . . 5 |- ( ( r = R /\ b = B ) -> ( [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
41	5, 8, 40	sbcied2 3473	. . . 4 |- ( r = R -> ( [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
42	4, 41	anbi12d 747	. . 3 |- ( r = R -> ( ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) ) <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) ) )
43		df-ring 18549	. . 3 |- Ring = { r e. Grp | ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) ) }
44	42, 43	elrab2 3366	. 2 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ ( G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) ) )
45		3anass 1042	. 2 |- ( ( R e. Grp /\ G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) <-> ( R e. Grp /\ ( G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) ) )
46	44, 45	bitr4i 267	1 |- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-ring 18549

This theorem is referenced by:  ringgrp  18552  ringmgp  18553  ringi  18560  ringpropd  18582  isringd  18585  ringsrg  18589  ring1  18602  prdsringd  18612  ringrng  41879  isringrng  41881  2zrngnring  41952  cznnring  41956