Theorem ring1 18602

Description: The (smallest) structure representing a zero ring. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ring1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
ring1	|- ( Z e. V -> M e. Ring )

Proof of Theorem ring1

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } = { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. }
2	1	grp1 17522	. . 3 |- ( Z e. V -> { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } e. Grp )
3		snex 4908	. . . . . 6 |- { Z } e. _V
4		ring1.m	. . . . . . 7 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. }
5	4	rngbase 16001	. . . . . 6 |- ( { Z } e. _V -> { Z } = ( Base ` M ) )
6	3, 5	ax-mp 5	. . . . 5 |- { Z } = ( Base ` M )
7	6	eqcomi 2631	. . . 4 |- ( Base ` M ) = { Z }
8		snex 4908	. . . . 5 |- { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V
9	4	rngplusg 16002	. . . . . 6 |- ( { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V -> { <. <. Z , Z >. , Z >. } = ( +g ` M ) )
10	9	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V -> ( +g ` M ) = { <. <. Z , Z >. , Z >. } )
11	8, 10	ax-mp 5	. . . 4 |- ( +g ` M ) = { <. <. Z , Z >. , Z >. }
12	7, 11, 1	grppropstr 17439	. . 3 |- ( M e. Grp <-> { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } e. Grp )
13	2, 12	sylibr 224	. 2 |- ( Z e. V -> M e. Grp )
14	1	mnd1 17331	. . 3 |- ( Z e. V -> { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } e. Mnd )
15		eqid 2622	. . . . . 6 |- (mulGrp ` M ) = (mulGrp ` M )
16	15, 6	mgpbas 18495	. . . . 5 |- { Z } = ( Base ` (mulGrp ` M ) )
17	1	grpbase 15991	. . . . . 6 |- ( { Z } e. _V -> { Z } = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } ) )
18	3, 17	ax-mp 5	. . . . 5 |- { Z } = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } )
19	16, 18	eqtr3i 2646	. . . 4 |- ( Base ` (mulGrp ` M ) ) = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } )
20	4	rngmulr 16003	. . . . . 6 |- ( { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V -> { <. <. Z , Z >. , Z >. } = ( .r ` M ) )
21	8, 20	ax-mp 5	. . . . 5 |- { <. <. Z , Z >. , Z >. } = ( .r ` M )
22	1	grpplusg 15992	. . . . . 6 |- ( { <. <. Z , Z >. , Z >. } e. _V -> { <. <. Z , Z >. , Z >. } = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } ) )
23	8, 22	ax-mp 5	. . . . 5 |- { <. <. Z , Z >. , Z >. } = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } )
24		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .r ` M ) = ( .r ` M )
25	15, 24	mgpplusg 18493	. . . . 5 |- ( .r ` M ) = ( +g ` (mulGrp ` M ) )
26	21, 23, 25	3eqtr3ri 2653	. . . 4 |- ( +g ` (mulGrp ` M ) ) = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } )
27	19, 26	mndprop 17317	. . 3 |- ( (mulGrp ` M ) e. Mnd <-> { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } e. Mnd )
28	14, 27	sylibr 224	. 2 |- ( Z e. V -> (mulGrp ` M ) e. Mnd )
29		df-ov 6653	. . . . . 6 |- ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( { <. <. Z , Z >. , Z >. } ` <. Z , Z >. )
30		opex 4932	. . . . . . 7 |- <. Z , Z >. e. _V
31		fvsng 6447	. . . . . . 7 |- ( ( <. Z , Z >. e. _V /\ Z e. V ) -> ( { <. <. Z , Z >. , Z >. } ` <. Z , Z >. ) = Z )
32	30, 31	mpan 706	. . . . . 6 |- ( Z e. V -> ( { <. <. Z , Z >. , Z >. } ` <. Z , Z >. ) = Z )
33	29, 32	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( Z e. V -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = Z )
34	33	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( Z e. V -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) )
35	33, 33	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( Z e. V -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) )
36	34, 35	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( Z e. V -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) )
37	33	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( Z e. V -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) )
38	37, 35	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( Z e. V -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) )
39		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( a = Z -> ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) )
40		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( a = Z -> ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) )
41		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( a = Z -> ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) )
42	40, 41	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( a = Z -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) )
43	39, 42	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( a = Z -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) )
44	40	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( a = Z -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) )
45	41	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( a = Z -> ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) )
46	44, 45	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( a = Z -> ( ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) )
47	43, 46	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( a = Z -> ( ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
48	47	2ralbidv 2989	. . . . 5 |- ( a = Z -> ( A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
49	48	ralsng 4218	. . . 4 |- ( Z e. V -> ( A. a e. { Z } A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
50		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( b = Z -> ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) )
51	50	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( b = Z -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) )
52		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( b = Z -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) )
53	52	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( b = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) )
54	51, 53	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( b = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) )
55	52	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( b = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) )
56	50	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( b = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) )
57	55, 56	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( b = Z -> ( ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) )
58	54, 57	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( b = Z -> ( ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
59	58	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( b = Z -> ( A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
60	59	ralsng 4218	. . . 4 |- ( Z e. V -> ( A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
61		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( c = Z -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) )
62	61	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( c = Z -> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) )
63	61	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( c = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) )
64	62, 63	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( c = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) ) )
65		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( c = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) )
66	61, 61	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( c = Z -> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) )
67	65, 66	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( c = Z -> ( ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) ) )
68	64, 67	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( c = Z -> ( ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) ) ) )
69	68	ralsng 4218	. . . 4 |- ( Z e. V -> ( A. c e. { Z } ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) ) ) )
70	49, 60, 69	3bitrd 294	. . 3 |- ( Z e. V -> ( A. a e. { Z } A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) <-> ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) /\ ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) = ( ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( Z { <. <. Z , Z >. , Z >. } Z ) ) ) ) )
71	36, 38, 70	mpbir2and 957	. 2 |- ( Z e. V -> A. a e. { Z } A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) )
72	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- { <. <. Z , Z >. , Z >. } = ( +g ` M )
73	6, 15, 72, 21	isring 18551	. 2 |- ( M e. Ring <-> ( M e. Grp /\ (mulGrp ` M ) e. Mnd /\ A. a e. { Z } A. b e. { Z } A. c e. { Z } ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) /\ ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } b ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) = ( ( a { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) { <. <. Z , Z >. , Z >. } ( b { <. <. Z , Z >. , Z >. } c ) ) ) ) )
74	13, 28, 71, 73	syl3anbrc 1246	1 |- ( Z e. V -> M e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   {csn 4177   {cpr 4179   {ctp 4181   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ndxcnx 15854   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-mgp 18490  df-ring 18549

This theorem is referenced by:  ringn0  18603  rng1nnzr  19274  lmod1zr  42282