Theorem cznnring 41956

Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure with 1 < n by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is not a unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cznrng.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
cznrng.b	|- B = ( Base ` Y )
cznrng.x	|- X = ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. )
cznrng.0	|- .0. = ( 0g ` Y )

Assertion

Ref	Expression
cznnring	|- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> X e/ Ring )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, C, y   x, N, y   x, X   x, Y, y   x, .0. , y

Allowed substitution hint:   X( y)

Proof of Theorem cznnring

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (mulGrp ` X ) = (mulGrp ` X )
2		cznrng.y	. . . . . . . 8 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
3		cznrng.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` Y )
4		cznrng.x	. . . . . . . 8 |- X = ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. )
5	2, 3, 4	cznrnglem 41953	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` X )
6	1, 5	mgpbas 18495	. . . . . 6 |- B = ( Base ` (mulGrp ` X ) )
7	4	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- (mulGrp ` X ) = (mulGrp ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) )
8		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- (ℤ/nℤ ` N ) e. _V
9	2, 8	eqeltri 2697	. . . . . . . . 9 |- Y e. _V
10		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` Y ) e. _V
11	3, 10	eqeltri 2697	. . . . . . . . . 10 |- B e. _V
12	11, 11	mpt2ex 7247	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B , y e. B |-> C ) e. _V
13		mulrid 15997	. . . . . . . . . 10 |- .r = Slot ( .r ` ndx )
14	13	setsid 15914	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. _V /\ ( x e. B , y e. B |-> C ) e. _V ) -> ( x e. B , y e. B |-> C ) = ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) )
15	9, 12, 14	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( x e. B , y e. B |-> C ) = ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) )
16	7, 15	mgpplusg 18493	. . . . . . 7 |- ( x e. B , y e. B |-> C ) = ( +g ` (mulGrp ` X ) )
17	16	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- ( +g ` (mulGrp ` X ) ) = ( x e. B , y e. B |-> C )
18		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> C e. B )
19		eluz2 11693	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 <_ N ) )
20		1lt2 11194	. . . . . . . . . 10 |- 1 < 2
21		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> 1 e. RR )
22		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> 2 e. RR )
24		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
25		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. RR /\ 2 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 1 < 2 /\ 2 <_ N ) -> 1 < N ) )
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> ( ( 1 < 2 /\ 2 <_ N ) -> 1 < N ) )
27	26	expcomd 454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( 2 <_ N -> ( 1 < 2 -> 1 < N ) ) )
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( 2 <_ N -> ( 1 < 2 -> 1 < N ) ) ) )
29	28	3imp 1256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 <_ N ) -> ( 1 < 2 -> 1 < N ) )
30	20, 29	mpi 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 <_ N ) -> 1 < N )
31	19, 30	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < N )
32		eluz2nn 11726	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
33	2, 3	znhash 19907	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( # ` B ) = N )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( # ` B ) = N )
35	31, 34	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < ( # ` B ) )
36	35	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> 1 < ( # ` B ) )
37	6, 17, 18, 36	copisnmnd 41809	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> (mulGrp ` X ) e/ Mnd )
38		df-nel 2898	. . . . 5 |- ( (mulGrp ` X ) e/ Mnd <-> -. (mulGrp ` X ) e. Mnd )
39	37, 38	sylib 208	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> -. (mulGrp ` X ) e. Mnd )
40	39	intn3an2d 1443	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> -. ( X e. Grp /\ (mulGrp ` X ) e. Mnd /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) ( b ( +g ` X ) c ) ) = ( ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) b ) ( +g ` X ) ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) ) /\ ( ( a ( +g ` X ) b ) ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) = ( ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) ( +g ` X ) ( b ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) ) ) ) )
41		eqid 2622	. . . 4 |- ( +g ` X ) = ( +g ` X )
42	4	eqcomi 2631	. . . . 5 |- ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) = X
43	42	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) = ( .r ` X )
44	5, 1, 41, 43	isring 18551	. . 3 |- ( X e. Ring <-> ( X e. Grp /\ (mulGrp ` X ) e. Mnd /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) ( b ( +g ` X ) c ) ) = ( ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) b ) ( +g ` X ) ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) ) /\ ( ( a ( +g ` X ) b ) ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) = ( ( a ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) ( +g ` X ) ( b ( .r ` ( Y sSet <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> C ) >. ) ) c ) ) ) ) )
45	40, 44	sylnibr 319	. 2 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> -. X e. Ring )
46		df-nel 2898	. 2 |- ( X e/ Ring <-> -. X e. Ring )
47	45, 46	sylibr 224	1 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ C e. B ) -> X e/ Ring )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   A.wral 2912   _Vcvv 3200   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   RRcr 9935   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   #chash 13117   ndxcnx 15854   sSet csts 15855   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547  ℤ/nℤczn 19851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-hash 13118  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855

This theorem is referenced by: (None)