Theorem istos 17035

Description: The predicate "is a toset." (Contributed by FL, 17-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
istos.b	|- B = ( Base ` K )
istos.l	|- .<_ = ( le ` K )

Assertion

Ref	Expression
istos	|- ( K e. Toset <-> ( K e. Poset /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, .<_ , y

Allowed substitution hints:   K( x, y)

Proof of Theorem istos

Dummy variables f b r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . 4 |- ( f = K -> ( Base ` f ) = ( Base ` K ) )
2		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( f = K -> ( le ` f ) = ( le ` K ) )
3	2	sbceq1d 3440	. . . 4 |- ( f = K -> ( [. ( le ` f ) / r ]. A. x e. b A. y e. b ( x r y \/ y r x ) <-> [. ( le ` K ) / r ]. A. x e. b A. y e. b ( x r y \/ y r x ) ) )
4	1, 3	sbceqbid 3442	. . 3 |- ( f = K -> ( [. ( Base ` f ) / b ]. [. ( le ` f ) / r ]. A. x e. b A. y e. b ( x r y \/ y r x ) <-> [. ( Base ` K ) / b ]. [. ( le ` K ) / r ]. A. x e. b A. y e. b ( x r y \/ y r x ) ) )
5		fvex 6201	. . . 4 |- ( Base ` K ) e. _V
6		fvex 6201	. . . 4 |- ( le ` K ) e. _V
7		istos.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` K )
8		eqtr 2641	. . . . . . . . 9 |- ( ( b = ( Base ` K ) /\ ( Base ` K ) = B ) -> b = B )
9		istos.l	. . . . . . . . . 10 |- .<_ = ( le ` K )
10		eqtr 2641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r = ( le ` K ) /\ ( le ` K ) = .<_ ) -> r = .<_ )
11		breq 4655	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = .<_ -> ( x r y <-> x .<_ y ) )
12		breq 4655	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = .<_ -> ( y r x <-> y .<_ x ) )
13	11, 12	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = .<_ -> ( ( x r y \/ y r x ) <-> ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) )
14	13	2ralbidv 2989	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = .<_ -> ( A. x e. b A. y e. b ( x r y \/ y r x ) <-> A. x e. b A. y e. b ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) )
15		raleq 3138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = B -> ( A. y e. b ( x .<_ y \/ y .<_ x ) <-> A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) )
16	15	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = B -> ( A. x e. b A. y e. b ( x .<_ y \/ y .<_ x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) )
17	14, 16	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( r = .<_ /\ b = B ) -> ( A. x e. b A. y e. b ( x r y \/ y r x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) )
18	17	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = .<_ -> ( b = B -> ( A. x e. b A. y e. b ( x r y \/ y r x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) ) )
19	10, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r = ( le ` K ) /\ ( le ` K ) = .<_ ) -> ( b = B -> ( A. x e. b A. y e. b ( x r y \/ y r x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) ) )
20	19	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( le ` K ) = .<_ -> ( r = ( le ` K ) -> ( b = B -> ( A. x e. b A. y e. b ( x r y \/ y r x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) ) ) )
21	20	eqcoms 2630	. . . . . . . . . 10 |- ( .<_ = ( le ` K ) -> ( r = ( le ` K ) -> ( b = B -> ( A. x e. b A. y e. b ( x r y \/ y r x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) ) ) )
22	9, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( le ` K ) -> ( b = B -> ( A. x e. b A. y e. b ( x r y \/ y r x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) ) )
23	8, 22	syl5com 31	. . . . . . . 8 |- ( ( b = ( Base ` K ) /\ ( Base ` K ) = B ) -> ( r = ( le ` K ) -> ( A. x e. b A. y e. b ( x r y \/ y r x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) ) )
24	23	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( ( Base ` K ) = B -> ( b = ( Base ` K ) -> ( r = ( le ` K ) -> ( A. x e. b A. y e. b ( x r y \/ y r x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) ) ) )
25	24	eqcoms 2630	. . . . . 6 |- ( B = ( Base ` K ) -> ( b = ( Base ` K ) -> ( r = ( le ` K ) -> ( A. x e. b A. y e. b ( x r y \/ y r x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) ) ) )
26	7, 25	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( b = ( Base ` K ) -> ( r = ( le ` K ) -> ( A. x e. b A. y e. b ( x r y \/ y r x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) ) )
27	26	imp 445	. . . 4 |- ( ( b = ( Base ` K ) /\ r = ( le ` K ) ) -> ( A. x e. b A. y e. b ( x r y \/ y r x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) )
28	5, 6, 27	sbc2ie 3505	. . 3 |- ( [. ( Base ` K ) / b ]. [. ( le ` K ) / r ]. A. x e. b A. y e. b ( x r y \/ y r x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) )
29	4, 28	syl6bb 276	. 2 |- ( f = K -> ( [. ( Base ` f ) / b ]. [. ( le ` f ) / r ]. A. x e. b A. y e. b ( x r y \/ y r x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) )
30		df-toset 17034	. 2 |- Toset = { f e. Poset | [. ( Base ` f ) / b ]. [. ( le ` f ) / r ]. A. x e. b A. y e. b ( x r y \/ y r x ) }
31	29, 30	elrab2 3366	1 |- ( K e. Toset <-> ( K e. Poset /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   [.wsbc 3435   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940  Tosetctos 17033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-toset 17034

This theorem is referenced by:  tosso  17036  zntoslem  19905  tospos  29658  resstos  29660  tleile  29661  odutos  29663  xrstos  29679  xrge0omnd  29711