Theorem zntoslem 19905

Description: Lemma for zntos 19906. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znle2.f	|- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
znle2.w	|- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
znle2.l	|- .<_ = ( le ` Y )
znleval.x	|- X = ( Base ` Y )

Assertion

Ref	Expression
zntoslem	|- ( N e. NN0 -> Y e. Toset )

Proof of Theorem zntoslem

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znle2.y	. . . . 5 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
2		fvex 6201	. . . . 5 |- (ℤ/nℤ ` N ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . 4 |- Y e. _V
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( N e. NN0 -> Y e. _V )
5		znleval.x	. . . 4 |- X = ( Base ` Y )
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( N e. NN0 -> X = ( Base ` Y ) )
7		znle2.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` Y )
8	7	a1i 11	. . 3 |- ( N e. NN0 -> .<_ = ( le ` Y ) )
9		znle2.f	. . . . . . . . . 10 |- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
10		znle2.w	. . . . . . . . . 10 |- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
11	1, 5, 9, 10	znf1o 19900	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> F : W -1-1-onto-> X )
12		f1ocnv 6149	. . . . . . . . 9 |- ( F : W -1-1-onto-> X -> `' F : X -1-1-onto-> W )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> `' F : X -1-1-onto-> W )
14		f1of 6137	. . . . . . . 8 |- ( `' F : X -1-1-onto-> W -> `' F : X --> W )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> `' F : X --> W )
16		sseq1 3626	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -> ( ZZ C_ ZZ <-> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) C_ ZZ ) )
17		sseq1 3626	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0..^ N ) = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) -> ( ( 0..^ N ) C_ ZZ <-> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) C_ ZZ ) )
18		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- ZZ C_ ZZ
19		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> x e. ZZ )
20	19	ssriv 3607	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ N ) C_ ZZ
21	16, 17, 18, 20	keephyp 4152	. . . . . . . . 9 |- if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) C_ ZZ
22	10, 21	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- W C_ ZZ
23		zssre 11384	. . . . . . . 8 |- ZZ C_ RR
24	22, 23	sstri 3612	. . . . . . 7 |- W C_ RR
25		fss 6056	. . . . . . 7 |- ( ( `' F : X --> W /\ W C_ RR ) -> `' F : X --> RR )
26	15, 24, 25	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> `' F : X --> RR )
27	26	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. X ) -> ( `' F ` x ) e. RR )
28	27	leidd 10594	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. X ) -> ( `' F ` x ) <_ ( `' F ` x ) )
29	1, 9, 10, 7, 5	znleval2 19904	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. X /\ x e. X ) -> ( x .<_ x <-> ( `' F ` x ) <_ ( `' F ` x ) ) )
30	29	3anidm23 1385	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. X ) -> ( x .<_ x <-> ( `' F ` x ) <_ ( `' F ` x ) ) )
31	28, 30	mpbird 247	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. X ) -> x .<_ x )
32	1, 9, 10, 7, 5	znleval2 19904	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x .<_ y <-> ( `' F ` x ) <_ ( `' F ` y ) ) )
33	1, 9, 10, 7, 5	znleval2 19904	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ y e. X /\ x e. X ) -> ( y .<_ x <-> ( `' F ` y ) <_ ( `' F ` x ) ) )
34	33	3com23 1271	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( y .<_ x <-> ( `' F ` y ) <_ ( `' F ` x ) ) )
35	32, 34	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) <-> ( ( `' F ` x ) <_ ( `' F ` y ) /\ ( `' F ` y ) <_ ( `' F ` x ) ) ) )
36	27	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( `' F ` x ) e. RR )
37	26	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ y e. X ) -> ( `' F ` y ) e. RR )
38	37	3adant2 1080	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( `' F ` y ) e. RR )
39	36, 38	letri3d 10179	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( `' F ` x ) = ( `' F ` y ) <-> ( ( `' F ` x ) <_ ( `' F ` y ) /\ ( `' F ` y ) <_ ( `' F ` x ) ) ) )
40		f1of1 6136	. . . . . . . 8 |- ( `' F : X -1-1-onto-> W -> `' F : X -1-1-> W )
41	13, 40	syl 17	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> `' F : X -1-1-> W )
42		f1fveq 6519	. . . . . . 7 |- ( ( `' F : X -1-1-> W /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( `' F ` x ) = ( `' F ` y ) <-> x = y ) )
43	41, 42	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( `' F ` x ) = ( `' F ` y ) <-> x = y ) )
44	43	3impb 1260	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( `' F ` x ) = ( `' F ` y ) <-> x = y ) )
45	35, 39, 44	3bitr2d 296	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) <-> x = y ) )
46	45	biimpd 219	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) )
47	27	3ad2antr1 1226	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( `' F ` x ) e. RR )
48	37	3ad2antr2 1227	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( `' F ` y ) e. RR )
49	26	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ z e. X ) -> ( `' F ` z ) e. RR )
50	49	3ad2antr3 1228	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( `' F ` z ) e. RR )
51		letr 10131	. . . . 5 |- ( ( ( `' F ` x ) e. RR /\ ( `' F ` y ) e. RR /\ ( `' F ` z ) e. RR ) -> ( ( ( `' F ` x ) <_ ( `' F ` y ) /\ ( `' F ` y ) <_ ( `' F ` z ) ) -> ( `' F ` x ) <_ ( `' F ` z ) ) )
52	47, 48, 50, 51	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( `' F ` x ) <_ ( `' F ` y ) /\ ( `' F ` y ) <_ ( `' F ` z ) ) -> ( `' F ` x ) <_ ( `' F ` z ) ) )
53	32	3adant3r3 1276	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x .<_ y <-> ( `' F ` x ) <_ ( `' F ` y ) ) )
54	1, 9, 10, 7, 5	znleval2 19904	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y .<_ z <-> ( `' F ` y ) <_ ( `' F ` z ) ) )
55	54	3adant3r1 1274	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y .<_ z <-> ( `' F ` y ) <_ ( `' F ` z ) ) )
56	53, 55	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) <-> ( ( `' F ` x ) <_ ( `' F ` y ) /\ ( `' F ` y ) <_ ( `' F ` z ) ) ) )
57	1, 9, 10, 7, 5	znleval2 19904	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. X /\ z e. X ) -> ( x .<_ z <-> ( `' F ` x ) <_ ( `' F ` z ) ) )
58	57	3adant3r2 1275	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x .<_ z <-> ( `' F ` x ) <_ ( `' F ` z ) ) )
59	52, 56, 58	3imtr4d 283	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) )
60	4, 6, 8, 31, 46, 59	isposd 16955	. 2 |- ( N e. NN0 -> Y e. Poset )
61	36, 38	letrid 10189	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( `' F ` x ) <_ ( `' F ` y ) \/ ( `' F ` y ) <_ ( `' F ` x ) ) )
62	32, 34	orbi12d 746	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( x .<_ y \/ y .<_ x ) <-> ( ( `' F ` x ) <_ ( `' F ` y ) \/ ( `' F ` y ) <_ ( `' F ` x ) ) ) )
63	61, 62	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x .<_ y \/ y .<_ x ) )
64	63	3expb 1266	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x .<_ y \/ y .<_ x ) )
65	64	ralrimivva 2971	. 2 |- ( N e. NN0 -> A. x e. X A. y e. X ( x .<_ y \/ y .<_ x ) )
66	5, 7	istos 17035	. 2 |- ( Y e. Toset <-> ( Y e. Poset /\ A. x e. X A. y e. X ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) )
67	60, 65, 66	sylanbrc 698	1 |- ( N e. NN0 -> Y e. Toset )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940  Tosetctos 17033   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-poset 16946  df-toset 17034  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855

This theorem is referenced by:  zntos  19906