Theorem tosso 17036

Description: Write the totally ordered set structure predicate in terms of the proper class strict order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tosso.b	|- B = ( Base ` K )
tosso.l	|- .<_ = ( le ` K )
tosso.s	|- .< = ( lt ` K )

Assertion

Ref	Expression
tosso	|- ( K e. V -> ( K e. Toset <-> ( .< Or B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) )

Proof of Theorem tosso

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tosso.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` K )
2		tosso.l	. . . . . . . . 9 |- .<_ = ( le ` K )
3		tosso.s	. . . . . . . . 9 |- .< = ( lt ` K )
4	1, 2, 3	pleval2 16965	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Poset /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .<_ y <-> ( x .< y \/ x = y ) ) )
5	4	3expb 1266	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Poset /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .<_ y <-> ( x .< y \/ x = y ) ) )
6	1, 2, 3	pleval2 16965	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Poset /\ y e. B /\ x e. B ) -> ( y .<_ x <-> ( y .< x \/ y = x ) ) )
7		equcom 1945	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x <-> x = y )
8	7	orbi2i 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y .< x \/ y = x ) <-> ( y .< x \/ x = y ) )
9	6, 8	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Poset /\ y e. B /\ x e. B ) -> ( y .<_ x <-> ( y .< x \/ x = y ) ) )
10	9	3com23 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Poset /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( y .<_ x <-> ( y .< x \/ x = y ) ) )
11	10	3expb 1266	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Poset /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( y .<_ x <-> ( y .< x \/ x = y ) ) )
12	5, 11	orbi12d 746	. . . . . 6 |- ( ( K e. Poset /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .<_ y \/ y .<_ x ) <-> ( ( x .< y \/ x = y ) \/ ( y .< x \/ x = y ) ) ) )
13		df-3or 1038	. . . . . . 7 |- ( ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) <-> ( ( x .< y \/ x = y ) \/ y .< x ) )
14		or32 549	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .< y \/ x = y ) \/ y .< x ) <-> ( ( x .< y \/ y .< x ) \/ x = y ) )
15		orordir 553	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .< y \/ y .< x ) \/ x = y ) <-> ( ( x .< y \/ x = y ) \/ ( y .< x \/ x = y ) ) )
16	14, 15	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( ( ( x .< y \/ x = y ) \/ y .< x ) <-> ( ( x .< y \/ x = y ) \/ ( y .< x \/ x = y ) ) )
17	13, 16	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) <-> ( ( x .< y \/ x = y ) \/ ( y .< x \/ x = y ) ) )
18	12, 17	syl6bbr 278	. . . . 5 |- ( ( K e. Poset /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .<_ y \/ y .<_ x ) <-> ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) )
19	18	2ralbidva 2988	. . . 4 |- ( K e. Poset -> ( A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) )
20	19	pm5.32i 669	. . 3 |- ( ( K e. Poset /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) <-> ( K e. Poset /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) )
21	1, 2, 3	pospo 16973	. . . 4 |- ( K e. V -> ( K e. Poset <-> ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) )
22	21	anbi1d 741	. . 3 |- ( K e. V -> ( ( K e. Poset /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) <-> ( ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) ) )
23	20, 22	syl5bb 272	. 2 |- ( K e. V -> ( ( K e. Poset /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) <-> ( ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) ) )
24	1, 2	istos 17035	. 2 |- ( K e. Toset <-> ( K e. Poset /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) )
25		df-so 5036	. . . 4 |- ( .< Or B <-> ( .< Po B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) )
26	25	anbi1i 731	. . 3 |- ( ( .< Or B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) <-> ( ( .< Po B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) )
27		an32 839	. . 3 |- ( ( ( .< Po B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) <-> ( ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) )
28	26, 27	bitri 264	. 2 |- ( ( .< Or B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) <-> ( ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) )
29	23, 24, 28	3bitr4g 303	1 |- ( K e. V -> ( K e. Toset <-> ( .< Or B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   _I cid 5023   Po wpo 5033   Or wor 5034   |` cres 5116   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940   ltcplt 16941  Tosetctos 17033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-toset 17034

This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  19485  opsrso  19487  retos  19964  toslub  29668  tosglb  29670  orngsqr  29804