Theorem resstos 29660

Description: The restriction of a Toset is a Toset. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
resstos	|- ( ( F e. Toset /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) e. Toset )

Proof of Theorem resstos

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tospos 29658	. . 3 |- ( F e. Toset -> F e. Poset )
2		resspos 29659	. . 3 |- ( ( F e. Poset /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) e. Poset )
3	1, 2	sylan 488	. 2 |- ( ( F e. Toset /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) e. Poset )
4		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( F ↾s A ) = ( F ↾s A )
5		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
6	4, 5	ressbas 15930	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( A i^i ( Base ` F ) ) = ( Base ` ( F ↾s A ) ) )
7		inss2 3834	. . . . . 6 |- ( A i^i ( Base ` F ) ) C_ ( Base ` F )
8	6, 7	syl6eqssr 3656	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( Base ` ( F ↾s A ) ) C_ ( Base ` F ) )
9	8	adantl 482	. . . 4 |- ( ( F e. Toset /\ A e. V ) -> ( Base ` ( F ↾s A ) ) C_ ( Base ` F ) )
10		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( le ` F ) = ( le ` F )
11	5, 10	istos 17035	. . . . . 6 |- ( F e. Toset <-> ( F e. Poset /\ A. x e. ( Base ` F ) A. y e. ( Base ` F ) ( x ( le ` F ) y \/ y ( le ` F ) x ) ) )
12	11	simprbi 480	. . . . 5 |- ( F e. Toset -> A. x e. ( Base ` F ) A. y e. ( Base ` F ) ( x ( le ` F ) y \/ y ( le ` F ) x ) )
13	12	adantr 481	. . . 4 |- ( ( F e. Toset /\ A e. V ) -> A. x e. ( Base ` F ) A. y e. ( Base ` F ) ( x ( le ` F ) y \/ y ( le ` F ) x ) )
14		ssralv 3666	. . . . 5 |- ( ( Base ` ( F ↾s A ) ) C_ ( Base ` F ) -> ( A. x e. ( Base ` F ) A. y e. ( Base ` F ) ( x ( le ` F ) y \/ y ( le ` F ) x ) -> A. x e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) A. y e. ( Base ` F ) ( x ( le ` F ) y \/ y ( le ` F ) x ) ) )
15		ssralv 3666	. . . . . 6 |- ( ( Base ` ( F ↾s A ) ) C_ ( Base ` F ) -> ( A. y e. ( Base ` F ) ( x ( le ` F ) y \/ y ( le ` F ) x ) -> A. y e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) ( x ( le ` F ) y \/ y ( le ` F ) x ) ) )
16	15	ralimdv 2963	. . . . 5 |- ( ( Base ` ( F ↾s A ) ) C_ ( Base ` F ) -> ( A. x e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) A. y e. ( Base ` F ) ( x ( le ` F ) y \/ y ( le ` F ) x ) -> A. x e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) A. y e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) ( x ( le ` F ) y \/ y ( le ` F ) x ) ) )
17	14, 16	syld 47	. . . 4 |- ( ( Base ` ( F ↾s A ) ) C_ ( Base ` F ) -> ( A. x e. ( Base ` F ) A. y e. ( Base ` F ) ( x ( le ` F ) y \/ y ( le ` F ) x ) -> A. x e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) A. y e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) ( x ( le ` F ) y \/ y ( le ` F ) x ) ) )
18	9, 13, 17	sylc 65	. . 3 |- ( ( F e. Toset /\ A e. V ) -> A. x e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) A. y e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) ( x ( le ` F ) y \/ y ( le ` F ) x ) )
19	4, 10	ressle 16059	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( le ` F ) = ( le ` ( F ↾s A ) ) )
20	19	breqd 4664	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( x ( le ` F ) y <-> x ( le ` ( F ↾s A ) ) y ) )
21	19	breqd 4664	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( y ( le ` F ) x <-> y ( le ` ( F ↾s A ) ) x ) )
22	20, 21	orbi12d 746	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( ( x ( le ` F ) y \/ y ( le ` F ) x ) <-> ( x ( le ` ( F ↾s A ) ) y \/ y ( le ` ( F ↾s A ) ) x ) ) )
23	22	2ralbidv 2989	. . . 4 |- ( A e. V -> ( A. x e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) A. y e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) ( x ( le ` F ) y \/ y ( le ` F ) x ) <-> A. x e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) A. y e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) ( x ( le ` ( F ↾s A ) ) y \/ y ( le ` ( F ↾s A ) ) x ) ) )
24	23	adantl 482	. . 3 |- ( ( F e. Toset /\ A e. V ) -> ( A. x e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) A. y e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) ( x ( le ` F ) y \/ y ( le ` F ) x ) <-> A. x e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) A. y e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) ( x ( le ` ( F ↾s A ) ) y \/ y ( le ` ( F ↾s A ) ) x ) ) )
25	18, 24	mpbid 222	. 2 |- ( ( F e. Toset /\ A e. V ) -> A. x e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) A. y e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) ( x ( le ` ( F ↾s A ) ) y \/ y ( le ` ( F ↾s A ) ) x ) )
26		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` ( F ↾s A ) ) = ( Base ` ( F ↾s A ) )
27		eqid 2622	. . 3 |- ( le ` ( F ↾s A ) ) = ( le ` ( F ↾s A ) )
28	26, 27	istos 17035	. 2 |- ( ( F ↾s A ) e. Toset <-> ( ( F ↾s A ) e. Poset /\ A. x e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) A. y e. ( Base ` ( F ↾s A ) ) ( x ( le ` ( F ↾s A ) ) y \/ y ( le ` ( F ↾s A ) ) x ) ) )
29	3, 25, 28	sylanbrc 698	1 |- ( ( F e. Toset /\ A e. V ) -> ( F ↾s A ) e. Toset )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   lecple 15948   Posetcpo 16940  Tosetctos 17033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-ple 15961  df-poset 16946  df-toset 17034

This theorem is referenced by:  submomnd  29710  submarchi  29740