Theorem isxmetd 22131

Description: Properties that determine an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isxmetd.0	|- ( ph -> X e. _V )
isxmetd.1	|- ( ph -> D : ( X X. X ) --> RR* )
isxmetd.2	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
isxmetd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isxmetd	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, D   ph, x, y, z   x, X, y, z

Proof of Theorem isxmetd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isxmetd.1	. 2 |- ( ph -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2		isxmetd.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) )
3		isxmetd.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
4	3	3exp2 1285	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X -> ( y e. X -> ( z e. X -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
5	4	imp32 449	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( z e. X -> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
6	5	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
7	2, 6	jca 554	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
8	7	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
9		isxmetd.0	. . 3 |- ( ph -> X e. _V )
10		isxmet 22129	. . 3 |- ( X e. _V -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
11	9, 10	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
12	1, 8, 11	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   +ecxad 11944   *Metcxmt 19731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-xr 10078  df-xmet 19739

This theorem is referenced by:  isxmet2d  22132  xmetres2  22166  comet  22318