Theorem ixxin 12192

Description: Intersection of two intervals of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixx.1	|- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )
ixxin.2	|- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( if ( A <_ C , C , A ) R z <-> ( A R z /\ C R z ) ) )
ixxin.3	|- ( ( z e. RR* /\ B e. RR* /\ D e. RR* ) -> ( z S if ( B <_ D , B , D ) <-> ( z S B /\ z S D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ixxin	|- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( ( A O B ) i^i ( C O D ) ) = ( if ( A <_ C , C , A ) O if ( B <_ D , B , D ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, C, y, z   x, D, y, z   x, B, y, z   x, R, y, z   x, S, y, z

Allowed substitution hints:   O( x, y, z)

Proof of Theorem ixxin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab 3899	. . 3 |- ( { z e. RR* | ( A R z /\ z S B ) } i^i { z e. RR* | ( C R z /\ z S D ) } ) = { z e. RR* | ( ( A R z /\ z S B ) /\ ( C R z /\ z S D ) ) }
2		ixx.1	. . . . 5 |- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )
3	2	ixxval 12183	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A O B ) = { z e. RR* | ( A R z /\ z S B ) } )
4	2	ixxval 12183	. . . 4 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* ) -> ( C O D ) = { z e. RR* | ( C R z /\ z S D ) } )
5	3, 4	ineqan12d 3816	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( ( A O B ) i^i ( C O D ) ) = ( { z e. RR* | ( A R z /\ z S B ) } i^i { z e. RR* | ( C R z /\ z S D ) } ) )
6		ixxin.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( if ( A <_ C , C , A ) R z <-> ( A R z /\ C R z ) ) )
7	6	3expa 1265	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( if ( A <_ C , C , A ) R z <-> ( A R z /\ C R z ) ) )
8	7	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( B e. RR* /\ D e. RR* ) ) /\ z e. RR* ) -> ( if ( A <_ C , C , A ) R z <-> ( A R z /\ C R z ) ) )
9		ixxin.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. RR* /\ B e. RR* /\ D e. RR* ) -> ( z S if ( B <_ D , B , D ) <-> ( z S B /\ z S D ) ) )
10	9	3expb 1266	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. RR* /\ ( B e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( z S if ( B <_ D , B , D ) <-> ( z S B /\ z S D ) ) )
11	10	ancoms 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. RR* /\ D e. RR* ) /\ z e. RR* ) -> ( z S if ( B <_ D , B , D ) <-> ( z S B /\ z S D ) ) )
12	11	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( B e. RR* /\ D e. RR* ) ) /\ z e. RR* ) -> ( z S if ( B <_ D , B , D ) <-> ( z S B /\ z S D ) ) )
13	8, 12	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( B e. RR* /\ D e. RR* ) ) /\ z e. RR* ) -> ( ( if ( A <_ C , C , A ) R z /\ z S if ( B <_ D , B , D ) ) <-> ( ( A R z /\ C R z ) /\ ( z S B /\ z S D ) ) ) )
14		an4 865	. . . . . 6 |- ( ( ( A R z /\ z S B ) /\ ( C R z /\ z S D ) ) <-> ( ( A R z /\ C R z ) /\ ( z S B /\ z S D ) ) )
15	13, 14	syl6bbr 278	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( B e. RR* /\ D e. RR* ) ) /\ z e. RR* ) -> ( ( if ( A <_ C , C , A ) R z /\ z S if ( B <_ D , B , D ) ) <-> ( ( A R z /\ z S B ) /\ ( C R z /\ z S D ) ) ) )
16	15	rabbidva 3188	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( B e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> { z e. RR* | ( if ( A <_ C , C , A ) R z /\ z S if ( B <_ D , B , D ) ) } = { z e. RR* | ( ( A R z /\ z S B ) /\ ( C R z /\ z S D ) ) } )
17	16	an4s 869	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> { z e. RR* | ( if ( A <_ C , C , A ) R z /\ z S if ( B <_ D , B , D ) ) } = { z e. RR* | ( ( A R z /\ z S B ) /\ ( C R z /\ z S D ) ) } )
18	1, 5, 17	3eqtr4a 2682	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( ( A O B ) i^i ( C O D ) ) = { z e. RR* | ( if ( A <_ C , C , A ) R z /\ z S if ( B <_ D , B , D ) ) } )
19		ifcl 4130	. . . . 5 |- ( ( C e. RR* /\ A e. RR* ) -> if ( A <_ C , C , A ) e. RR* )
20	19	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( A <_ C , C , A ) e. RR* )
21		ifcl 4130	. . . 4 |- ( ( B e. RR* /\ D e. RR* ) -> if ( B <_ D , B , D ) e. RR* )
22	2	ixxval 12183	. . . 4 |- ( ( if ( A <_ C , C , A ) e. RR* /\ if ( B <_ D , B , D ) e. RR* ) -> ( if ( A <_ C , C , A ) O if ( B <_ D , B , D ) ) = { z e. RR* | ( if ( A <_ C , C , A ) R z /\ z S if ( B <_ D , B , D ) ) } )
23	20, 21, 22	syl2an 494	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( B e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( if ( A <_ C , C , A ) O if ( B <_ D , B , D ) ) = { z e. RR* | ( if ( A <_ C , C , A ) R z /\ z S if ( B <_ D , B , D ) ) } )
24	23	an4s 869	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( if ( A <_ C , C , A ) O if ( B <_ D , B , D ) ) = { z e. RR* | ( if ( A <_ C , C , A ) R z /\ z S if ( B <_ D , B , D ) ) } )
25	18, 24	eqtr4d 2659	1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( ( A O B ) i^i ( C O D ) ) = ( if ( A <_ C , C , A ) O if ( B <_ D , B , D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   i^i cin 3573   ifcif 4086   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   RR*cxr 10073   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-xr 10078

This theorem is referenced by:  iooin  12209  itgspliticc  23603  cvmliftlem10  31276