Theorem kbass5 28979

Description: Dirac bra-ket associative law ( | A >. <. B | ) ( | C >. <. D | ) = ( ( | A >. <. B | ) | C >. ) <. D |. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbass5	|- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) = ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) )

Proof of Theorem kbass5

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kbval 28813	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ~H /\ D e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( ( C ketbra D ) ` x ) = ( ( x .ih D ) .h C ) )
2	1	3expa 1265	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ~H /\ D e. ~H ) /\ x e. ~H ) -> ( ( C ketbra D ) ` x ) = ( ( x .ih D ) .h C ) )
3	2	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( C ketbra D ) ` x ) = ( ( x .ih D ) .h C ) )
4	3	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` ( ( C ketbra D ) ` x ) ) = ( ( A ketbra B ) ` ( ( x .ih D ) .h C ) ) )
5		simplll 798	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> A e. ~H )
6		simpllr 799	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> B e. ~H )
7		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> x e. ~H )
8		simplrr 801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> D e. ~H )
9		hicl 27937	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ~H /\ D e. ~H ) -> ( x .ih D ) e. CC )
10	7, 8, 9	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( x .ih D ) e. CC )
11		simplrl 800	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> C e. ~H )
12		hvmulcl 27870	. . . . . . 7 |- ( ( ( x .ih D ) e. CC /\ C e. ~H ) -> ( ( x .ih D ) .h C ) e. ~H )
13	10, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( x .ih D ) .h C ) e. ~H )
14		kbval 28813	. . . . . 6 |- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H /\ ( ( x .ih D ) .h C ) e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` ( ( x .ih D ) .h C ) ) = ( ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) .h A ) )
15	5, 6, 13, 14	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` ( ( x .ih D ) .h C ) ) = ( ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) .h A ) )
16	4, 15	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` ( ( C ketbra D ) ` x ) ) = ( ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) .h A ) )
17		kbop 28812	. . . . . 6 |- ( ( C e. ~H /\ D e. ~H ) -> ( C ketbra D ) : ~H --> ~H )
18	17	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( C ketbra D ) : ~H --> ~H )
19		fvco3 6275	. . . . 5 |- ( ( ( C ketbra D ) : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( A ketbra B ) ` ( ( C ketbra D ) ` x ) ) )
20	18, 19	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( A ketbra B ) ` ( ( C ketbra D ) ` x ) ) )
21		kbval 28813	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H /\ C e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` C ) = ( ( C .ih B ) .h A ) )
22	5, 6, 11, 21	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` C ) = ( ( C .ih B ) .h A ) )
23	22	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( x .ih D ) .h ( ( A ketbra B ) ` C ) ) = ( ( x .ih D ) .h ( ( C .ih B ) .h A ) ) )
24		kbop 28812	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( A ketbra B ) : ~H --> ~H )
25	24	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ C e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` C ) e. ~H )
26	25	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A ketbra B ) ` C ) e. ~H )
27	26	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` C ) e. ~H )
28		kbval 28813	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) e. ~H /\ D e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) = ( ( x .ih D ) .h ( ( A ketbra B ) ` C ) ) )
29	27, 8, 7, 28	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) = ( ( x .ih D ) .h ( ( A ketbra B ) ` C ) ) )
30		ax-his3 27941	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .ih D ) e. CC /\ C e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) = ( ( x .ih D ) x. ( C .ih B ) ) )
31	10, 11, 6, 30	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) = ( ( x .ih D ) x. ( C .ih B ) ) )
32	31	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) .h A ) = ( ( ( x .ih D ) x. ( C .ih B ) ) .h A ) )
33		hicl 27937	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( C .ih B ) e. CC )
34	11, 6, 33	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( C .ih B ) e. CC )
35		ax-hvmulass 27864	. . . . . . 7 |- ( ( ( x .ih D ) e. CC /\ ( C .ih B ) e. CC /\ A e. ~H ) -> ( ( ( x .ih D ) x. ( C .ih B ) ) .h A ) = ( ( x .ih D ) .h ( ( C .ih B ) .h A ) ) )
36	10, 34, 5, 35	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( x .ih D ) x. ( C .ih B ) ) .h A ) = ( ( x .ih D ) .h ( ( C .ih B ) .h A ) ) )
37	32, 36	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) .h A ) = ( ( x .ih D ) .h ( ( C .ih B ) .h A ) ) )
38	23, 29, 37	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) = ( ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) .h A ) )
39	16, 20, 38	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) )
40	39	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> A. x e. ~H ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) )
41		fco 6058	. . . 4 |- ( ( ( A ketbra B ) : ~H --> ~H /\ ( C ketbra D ) : ~H --> ~H ) -> ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) : ~H --> ~H )
42	24, 17, 41	syl2an 494	. . 3 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) : ~H --> ~H )
43		kbop 28812	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) e. ~H /\ D e. ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) : ~H --> ~H )
44	25, 43	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ C e. ~H ) /\ D e. ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) : ~H --> ~H )
45	44	anasss 679	. . 3 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) : ~H --> ~H )
46		ffn 6045	. . . 4 |- ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) : ~H --> ~H -> ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) Fn ~H )
47		ffn 6045	. . . 4 |- ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) : ~H --> ~H -> ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) Fn ~H )
48		eqfnfv 6311	. . . 4 |- ( ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) Fn ~H /\ ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) Fn ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) = ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) <-> A. x e. ~H ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) ) )
49	46, 47, 48	syl2an 494	. . 3 |- ( ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) : ~H --> ~H /\ ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) : ~H --> ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) = ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) <-> A. x e. ~H ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) ) )
50	42, 45, 49	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) = ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) <-> A. x e. ~H ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) ) )
51	40, 50	mpbird 247	1 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) = ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   x. cmul 9941   ~Hchil 27776   .h csm 27778   .ih csp 27779   ketbra ck 27814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-hilex 27856  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulass 27864  ax-hfi 27936  ax-his3 27941

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-kb 28710

This theorem is referenced by:  kbass6  28980