Theorem fvco3 6275

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	|- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6045	. 2 |- ( G : A --> B -> G Fn A )
2		fvco2 6273	. 2 |- ( ( G Fn A /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
3	1, 2	sylan 488	1 |- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  foco2  6379  foco2OLD  6380  f1cofveqaeqALT  6516  f1ocnvfv1  6532  f1ocnvfv2  6533  fcof1  6542  fcofo  6543  cocan1  6546  cocan2  6547  fveqf1o  6557  isotr  6586  algrflem  7286  fipreima  8272  fsuppco2  8308  fsuppcor  8309  unxpwdom2  8493  wemapwe  8594  ackbij2lem2  9062  cofsmo  9091  cfcoflem  9094  isf32lem6  9180  isf32lem7  9181  isf32lem8  9182  isf34lem7  9201  isf34lem6  9202  axcc3  9260  axdc4lem  9277  canthp1lem2  9475  inar1  9597  axdc4uzlem  12782  seqf1olem2  12841  seqf1o  12842  lswco  13584  lo1o1  14263  o1co  14317  caucvgrlem2  14405  summolem3  14445  fsumf1o  14454  fsumcl2lem  14462  fsumadd  14470  fsummulc2  14516  fsumrelem  14539  supcvg  14588  prodmolem3  14663  fprodf1o  14676  fprodser  14679  fprodcl2lem  14680  fprodmul  14690  fproddiv  14691  fprodn0  14709  ruclem11  14969  ruclem12  14970  algcvg  15289  eulerthlem2  15487  cofu1  16544  cofu2  16546  cofucl  16548  fucidcl  16625  fuclid  16626  fucrid  16627  homadm  16690  homacd  16691  evlfcl  16862  curfuncf  16878  yonedalem4c  16917  yonedalem3b  16919  yonedainv  16921  mhmco  17362  prdspjmhm  17367  pwsco1mhm  17370  lactghmga  17824  frgpup3lem  18190  gsumval3eu  18305  gsumval3  18308  gsumzaddlem  18321  gsumzmhm  18337  dprdf1o  18431  mplsubglem  19434  evlssca  19522  evls1val  19685  evls1sca  19688  evl1val  19693  gsumfsum  19813  frgpcyg  19922  zrhpsgninv  19931  zrhpsgnevpm  19937  zrhpsgnodpm  19938  mdetralt  20414  mdetunilem7  20424  cpmadumatpoly  20688  chcoeffeqlem  20690  cnpco  21071  lmcnp  21108  upxp  21426  uptx  21428  cnmpt11  21466  cnmpt21  21474  xkofvcn  21487  prdstmdd  21927  prdstgpd  21928  comet  22318  prdsxmslem2  22334  nrmmetd  22379  isngp3  22402  ngpds  22408  tngnm  22455  nmoco  22541  cnmetdval  22574  climcncf  22703  cncfco  22710  htpyco1  22777  htpyco2  22778  phtpyco2  22789  reparphti  22797  copco  22818  pi1cof  22859  pi1coghm  22861  caubl  23106  caublcls  23107  cniccbdd  23230  ovolfioo  23236  ovolficc  23237  ovolfsval  23239  ovolicc2lem1  23285  ovolicc2lem4  23288  ovolicc2lem5  23289  volsup  23324  uniiccdif  23346  uniioovol  23347  uniiccvol  23348  uniioombllem2  23351  uniioombllem3a  23352  uniioombllem4  23354  uniioombllem5  23355  mbfimaopnlem  23422  limccnp  23655  dvcobr  23709  dvcjbr  23712  dvfre  23714  plycjlem  24032  plycj  24033  coecj  24034  radcnvlem2  24168  radcnvlem3  24169  radcnvlt2  24173  pserulm  24176  resinf1o  24282  jensen  24715  eflgam  24771  ftalem3  24801  dchrinv  24986  dchr2sum  24998  dchrisum0re  25202  motco  25435  motcgrg  25439  ex-co  27295  vafval  27458  smfval  27460  vsfval  27488  imsdval  27541  lnocoi  27612  occllem  28162  hocoi  28623  homco1  28660  counop  28780  homco2  28836  hmopco  28882  nlelchi  28920  kbass2  28976  kbass5  28979  leopsq  28988  hmopidmchi  29010  elpjrn  29049  pjinvari  29050  derangenlem  31153  subfacp1lem5  31166  cnpconn  31212  txsconnlem  31222  txsconn  31223  cvmliftmolem1  31263  cvmliftlem7  31273  cvmlift2lem3  31287  cvmlift2lem7  31291  cvmlift2lem9  31293  cvmliftphtlem  31299  cvmlift3lem1  31301  cvmlift3lem2  31302  cvmlift3lem4  31304  cvmlift3lem5  31305  cvmlift3lem6  31306  cvmlift3lem7  31307  mrsubco  31418  msubco  31428  mclsppslem  31480  sinccvglem  31566  iprodefisumlem  31626  iprodefisum  31627  poimirlem22  33431  mblfinlem2  33447  ftc1anclem5  33489  ftc1anclem8  33492  cocanfo  33512  f1ocan1fv  33521  upixp  33524  ghomco  33690  rngohomco  33773  lautco  35383  ldilco  35402  ltrncoval  35431  tendocoval  36054  tendoconid  36117  tendospass  36308  dicvscacl  36480  cdlemn3  36486  cdlemn9  36494  brcoffn  38328  fvco3d  38462  fvovco  39381  climexp  39837  stoweidlem27  40244  stoweidlem31  40248  ovolval4lem1  40863  mgmhmco  41801